证明：当$\lambda  = 0$时，我们有$r\left( A \right) = 1$，则由$A$实对称知，存在正交阵$P$，使得

A=PTE11P=E11

<script id="MathJax-Element-1" type="math/tex; mode=display">A = {P^T}{E_{11}}P = {E_{11}}</script>

从而当$\lambda=1$时，我们有$r\left( {{E_{11}} +  B} \right) = 1$，则由${E_{11}} +  B$实对称知，存在正交阵$Q$，使得

<script id="MathJax-Element-2" type="math/tex; mode=display">Q‘\left( {{E_{11}} + B} \right)Q = {E_{11}}</script>

所以我们有$Q‘BQ = 0$，即$B=0$