$\bf命题1：$设$A$为正定阵，$B$为实对称阵，则$A$，$B$可同时合同对角化

证明：由$A$正定知，存在可逆阵$P$，使得\[{P^T}AP = E\]
由$B$实对称知${P^T}BP$实对称，则存在正交阵$Q$，使得
\[{Q^T}{P^T}BPQ = diag\left( {{\lambda _1}, \cdots ,{\lambda _n}} \right)\]
取$R = PQ$，则存在可逆阵$R$，使得
\[{R^T}AR = E，{R^T}BR = diag\left( {{\lambda _1}, \cdots ,{\lambda _n}} \right)\]
即$A$，$B$可同时合同对角化