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11. $M_n$ 上的范数 $\sen{\cdot}$ 称为是对称的, 若 $$\bex \sen{ABC}\leq \sen{A}_\infty\sen{C}_\infty \sen{B},\quad \forall\ A,B,C\in M_n. \ee
https://www.u72.net/daima/nnnha.html - 2024-07-31 07:35:32 - 代码库5. 设 $A,B\in M_n$, 则 $$\bex s_j(AB)\leq \sen{A}_\infty s_j(B),\quad s_j(AB)\leq \sen{B}_\infty s_j(A),\quad j=1,\cdots,n. \eex$$ 证明:
https://www.u72.net/daima/nnnkf.html - 2024-07-31 07:38:03 - 代码库1. (Fan-Hoffman). 设 $A\in M_n$, 记 $\Re A=(A+A^*)/2$. 则 $$\bex \lm_j(\Re A)\leq s_j(A),\quad j=1,\cdots,n. \eex$$ 证明: 对适合 $\sen{x}=
https://www.u72.net/daima/nnnd7.html - 2024-07-31 07:41:33 - 代码库15. (Fan-Hoffman) 设 $A,H\in M_n$, 其中 $H$ 为 Hermite 矩阵, 则 $$\bex \sen{A-\Re A}\leq \sen{A-H} \eex$$ 对任何酉不变范数成立. 证明: (1).
https://www.u72.net/daima/nnnb3.html - 2024-07-31 07:43:05 - 代码库7. 设 $A_0\in M_n$ 正定, $A_i\in M_n$ 半正定, $i=1,\cdots,k$, 则 $$\bex \tr \sum_{j=1}^k \sex{\sum_{i=0}^jA_i}^{-2}A_j<\tr A_0^{-1}. \eex$$
https://www.u72.net/daima/nnnfa.html - 2024-07-31 07:43:44 - 代码库10. 设 $A,B\in M_n$ 并且 $AB$ 为 Hermite 矩阵, 则对任何酉不变范数 $$\bex \sen{AB}\leq \sen{\Re(BA)}. \eex$$ 证明: (1). 先证明 $$\bex x\pre
https://www.u72.net/daima/nnncf.html - 2024-07-31 07:46:17 - 代码库3. $G\in M_n$ 称为一个秩 $k$ 部分等距矩阵, 若 $$\bex s_1(G)=\cdots=s_k(G)=1,\quad s_{k+1}(G)=\cdots=s_n(G)=0. \eex$$ 证明对 $X\in M_n$, $$\b
https://www.u72.net/daima/nnns8.html - 2024-07-31 07:51:09 - 代码库14. 设 $A,B\in M_n$, 则对 $M_n$ 上的任何酉不变范数有 $$\bex \frac{1}{2}\sen{\sex{\ba{cc} A+B&0\\ 0&A+B \ea}}\leq \sen{\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B
https://www.u72.net/daima/nnnuk.html - 2024-07-31 07:51:51 - 代码库12. 设 $p,q$ 为正实数, 满足 $\dps{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$, 则对 $A,B\in M_n$ 和酉不变范数有 $$\bex \sen{AB}\leq \sen{|A|^p}^\frac{1}{p}
https://www.u72.net/daima/nnnva.html - 2024-07-31 07:53:33 - 代码库6. 设 $A,B\in M_n$ 半正定, 则 $$\bex s_j(A-B)\leq s_j\sex{ \sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}},\quad j=1,\cdots,n. \eex$$ 证明: $$\beex \bea s_j(
https://www.u72.net/daima/nnnx9.html - 2024-07-31 07:59:36 - 代码库13. (Bhatia-Davis) 设 $A,B,X\in M_n$, 则 $$\bex \sen{AXB^*}\leq \frac{1}{2}\sen{A^*AX+XB^*B} \eex$$ 对任何酉不变范数成立. 证明: 见 [R. Bha
https://www.u72.net/daima/nnn1n.html - 2024-07-31 08:01:55 - 代码库9. (Hopf) 将 $n$ 阶正矩阵 $A=(a_{ij})$ 的特征值按模从大到小排列为 $$\bex \rho(A)>|\lm_2|\geq \cdot \geq |\lm_n|, \eex$$ 并记 $$\bex \al=\max
https://www.u72.net/daima/nzhdx.html - 2024-08-01 10:40:35 - 代码库据说某个公司有道笔试题是这样的：求1&#43;2&#43;3&#43;...&#43;n，编程实现，但是不允许用if,while,for,?等语句，也不能用乘除法。当然肯定也不允许用pow这样
https://www.u72.net/daima/nkkn8.html - 2024-08-03 17:43:10 - 代码库12. (Webster) 设 $A=(a_{ij})$ 是有 $k$ 个正元素的 $n$ 阶双随机矩阵. 证明, 存在 $1,2,\cdots,n$ 的一个排列 $\sigma$ 使得 $$\bex \sum_{i=1}^n\f
https://www.u72.net/daima/nar73.html - 2024-07-30 13:51:21 - 代码库1. 设 $A\in M_n$. 证明若 $AA^*=A^2$, 则 $A^*=A$. 证明: 由 Schur 酉三角化定理, 存在酉阵 $U$, 使得 $$\bex A=U^*BU, \eex$$ 其中 $B=(b_{ij})$
https://www.u72.net/daima/nar77.html - 2024-07-30 13:51:37 - 代码库13. (Caylay 变换) 记 $i=\sqrt{-1}$. 若 $A$ 为 Hermite 矩阵, 则 $$\bex \phi(A)=(A-iI)(A+iI)^{-1} \eex$$ 是一个酉矩阵. 证明: $$\beex \bea \ph
https://www.u72.net/daima/nar7m.html - 2024-07-30 13:51:52 - 代码库8. 证明每个半正定矩阵都有唯一的半正定平方根, 即若 $A\geq 0$, 则存在唯一的 $B\geq 0$ 满足 $B^2=A$. 证明: 由 $A\geq 0$ 知存在酉阵 $U$, 使得 $
https://www.u72.net/daima/nar8c.html - 2024-07-30 13:52:29 - 代码库4. 设 $x,y,u\in\bbR^n$ 的分量都是递减的. 证明: (1). 若 $x\prec y$ 则 $\sef{x,u}\leq \sef{y,u}$. (2). 若 $x\prec_w y$ 且 $u\in\bbR^n_+$, 则 $
https://www.u72.net/daima/nar8s.html - 2024-07-30 13:52:39 - 代码库9. 用公式 $$\bex t^r=\frac{\sin r\pi}{\pi}\int_0^\infty \frac{s^{r-1}t}{s+t}\rd s\quad \sex{0<r<1} \eex$$ 证明定理 3.24. 证明: (1). 先证 $$
https://www.u72.net/daima/nar81.html - 2024-07-30 13:53:10 - 代码库7. 设 $A\in M_n$ 正定, $1\leq k\leq n$. 则 $$\bex \prod_{j=1}^n \lm_j(A)=\max_{U^*U=I_k} \det U^*AU,\quad \prod_{j=1}^n \lm_{n-j+1}(A)=\min_
https://www.u72.net/daima/nar89.html - 2024-07-30 13:53:43 - 代码库