13. (Caylay 变换) 记 $i=\sqrt{-1}$. 若 $A$ 为 Hermite 矩阵, 则 $$\bex \phi(A)=(A-iI)(A+iI)^{-1} \eex$$ 是一个酉矩阵.

证明: $$\beex \bea \phi(A)^*\phi(A) &=(A-iI)^{-1}(A+iI)(A-iI)(A+iI)^{-1}\\ &=(A-iI)^{-1}(A^2+I)(A+iI)^{-1}\\ &=(A-iI)^{-1}(A-iI)(A+iI)(A+iI)^{-1}\\ &=I. \eea \eeex$$

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.13