8. 证明任何一个复方阵都酉相似于某个对角元素全部相等的矩阵.

证明: (1). 先证每个迹为零的矩阵都酉相似于对角元素全为零的矩阵. 对阶 $n$ 作数学归纳法. 当 $n=1$ 时, 结论自明. 假设结论对阶 $\leq n-1$ 时都成立, 则当阶为 $n$ 时, $$\bex A=(a_{ij}),\quad \tr A=a_{11}+\cdots+a_{nn}=0. \eex$$ 若 $$\bee\label{1_8_1_1} \exists\ i,\st a_{ii}=0, \eee$$ 则 $$\bex e_i^*Ae_i=0,\quad e_i=(\underbrace{0,\cdots,1}_{i},\cdots,0)^T. \eex$$ 将 $e_i$ 扩充为 $\bbC^n$ 的一组基 $$\bex e_i,\al_2,\cdots,\al_n, \eex$$ 则 $$\bex A(e_i,\al_2,\cdots,\al_n)=(e_i,\al_2,\cdots,\al_n) \sex{\ba{cc} 0&*\\ *&B \ea}. \eex$$ 按照归纳假设, 存在 $n-1$ 阶酉矩阵 $V$ 使得 $$\bex V^{-1}BV=\sex{\ba{ccc} 0&&*\\ &\ddots&\\ *&&0 \ea}. \eex$$ 令 $$\bex U=(e_i,\al_2,\cdots,\al_n)\sex{\ba{cc} 1&0\\ 0&V \ea}, \eex$$ 则 $U$ 为酉矩阵, 且 $$\bex U^{-1}AU=\sex{\ba{cc} 0&*\\ *&0 \ea}. \eex$$ 若 \eqref{1_8_1_1} 不成立, 则 $$\bex \exists\ j\neq k,\st a_{jj}<0<a_{kk}. \eex$$ 记 $$\bex f(t)=[(1-t)e_j+te_k]^TA[(1-t)e_j+te_k], \eex$$ 则 $f(t)$ 为连续函数, $f(0)=a_{jj}<0<a_{kk}=f(1)$. 由介值定理, $$\bex \exists\ t_0\in (0,1),\st f(t_0)=0. \eex$$ 注意到 $$\bex \sen{(1-t)e_j+te_k}_2^2 =(1-t)^2+t^2>0, \eex$$ 而可将 $(1-t)e_j+te_k$ 单位化后再扩充为 $\bbC^n$ 的一组基, 如此回到 \eqref{1_8_1_1} 的情形.

(2). 再证题目. 一般的, $$\bex A=aI+C,\quad a=\frac{1}{n}\tr A,\quad \tr C=0. \eex$$ 由 (1), 存在酉矩阵 $U$, 使得 $$\bex U^{-1}CU=\sex{\ba{ccc} 0&&*\\ &\ddots&\\ *&&0 \ea}\ra U^{-1}AU=aI+\sex{\ba{ccc} 0&&*\\ &\ddots&\\ *&&0 \ea}=\sex{\ba{ccc} a&&*\\ &\ddots&\\ *&&a \ea}. \eex$$

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.8