2. (Oldenburgere) 设 $A\in M_n$, $\rho(A)$ 表示 $A$ 的谱半径, 即 $A$ 的特征值的模的最大者. 证明: $$\bex \vlm{k}A^k=0\lra \rho(A)<1. \eex$$

证明: $\ra$: 由 Jordan 标准型理论, 存在可逆阵 $P$, 使得 $$\bex P^{-1}AP=\sex{\ba{ccc} \lm_1&&*\\ &\ddots&\\ &&\lm_n \ea}, \eex$$ 而 $$\bex P^{-1}A^kP=\sex{\ba{ccc} \lm_1^k&&*\\ &\ddots&\\ &&\lm_n^k \ea}. \eex$$ 由此, $$\bex \vlm{k}A^k=0\ra \vlm{k}\lm_i^k=0\ra |\lm_i|<1\ra \rho(A)<1. \eex$$ $\la$: 若 $\rho(A)<1$, 则各 $|\lm_i|<1$, $$\beex \bea \sex{\ba{cccc} \lm&1&&\\ &\ddots&&\\ &&\ddots&1\\ &&&\lm \ea}_{s\times s} &=(\lm I-U)^k\quad\sex{U=\sex{\ba{cccc} 0&1&&\\ &\ddots&&\\ &&\ddots&1\\ &&&0 \ea}}\\ &=\sum_{i=0}^k C_k^i \lm^i(-U)^{k-i}\\ &=\sum_{i=k-s}^kC_k^i\lm^i(-U)^{k-i}\quad(k\geq s)\\ &\to 0\quad\sex{k\to\infty}, \eea \eeex$$ 最后一步是因为 $$\bex \sev{\frac{k!}{i!(k-i)!} \lm^i} \leq \frac{k!}{(k-s)!}|\lm|^{k-s} <k^s|\lm|^{k-s}\to 0\quad\sex{k\to\infty}. \eex$$

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.2