6. (Embry) 我们说两个矩阵 $X$, $Y$ 可交换是指乘法可交换, 即 $XY=YX$. 设 $A,B\in M_n$ 满足 $\sigma(A)\cap \sigma(B)=\vno$. 如果 $C\in M_n$, $C$ 与 $A+B$ 可交换并且 $C$ 与 $AB$ 可交换, 则 $C$ 与 $A$ 和 $B$ 都可交换.

证明: 由 $\sigma(A)\cap \sigma(B)=\vno$ 知 $AX-XB=0$ 有且仅有零解. 但 $$\beex \bea A(AC-CA)-(AC-CA)B &=A^2C-AC(A+B)+CAB\\ &=A^2C-A(A+B)C+ABC\\ &=0 \eea \eeex$$ 说明 $AC-CA$ 也是 $AX-XB=0$ 的解. 故 $AC=CA$. 同理, $BC=CB$.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.6