12. (Sherman-Morrison-Woodbury 公式) 设 $A\in M_n$, $B,C\in M_{n,k}$ 使得 $I+C^*A^{-1}B$ 可逆, 其中 $I$ 是单位阵. 证明 $A+BC^*$ 可逆且 $$\bex (A+BC^*)^{-1} =A^{-1} -A^{-1}B (I+C^*A^{-1}B)^{-1}C^*A^{-1}. \eex$$

证明: $$\beex \bea &\quad (A+BC^*)\sez{A^{-1} -A^{-1}B (I+C^*A^{-1}B)^{-1}C^*A^{-1}}\\ &=I+BC^*A^{-1} -(A+BC^*)A^{-1}B(I+C^*A^{-1}B)^{-1}C^*A^{-1}\\ &=I+BC^*A^{-1} -(I+BC^*A^{-1})\sez{(I+C^*A^{-1}B)B^{-1}}^{-1}C^*A^{-1}\\ &=I+BC^*A^{-1} -(I+BC^*A^{-1})(B^{-1}+C^*A^{-1})^{-1}C^*A^{-1}\\ &=I+BC^*A^{-1} -(I+BC^*A^{-1})\sez{B^{-1}(I+BC^*A^{-1})}^{-1}C^*A^{-1}\\ &=I+BC^*A^{-1} -BC^*A^{-1}\\ &=0. \eea \eeex$$

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.12