11. $M_n$ 上的范数 $\sen{\cdot}$ 称为是对称的, 若 $$\bex \sen{ABC}\leq \sen{A}_\infty\sen{C}_\infty \sen{B},\quad \forall\ A,B,C\in M_n. \eex$$ 证明: $\sen{\cdot}$ 对称当且仅当 $\sen{\cdot}$ 是酉不变的.

证明: $\ra$: 对酉阵 $U,V$, $$\beex \bea \sen{UAV}&\leq \sen{U}_\infty \sen{V}_\infty \sen{A}=\sen{A};\\ \sen{A}&=\sen{U^*(UAV)V^*} \leq \sen{U^*}_\infty \sen{V^*}_\infty \sen{UAV} =\sen{UAV}. \eea \eeex$$ 故 $$\bex \sen{UAV}=\sen{A},\quad \forall\ A\in M_n. \eex$$ $\la$: 为证 $$\bex \sen{ABC}\leq \sen{\sen{A}_\infty \sen{C}_\infty B}, \eex$$ 由 Fan 支配定理 (定理 4.24), 仅须证明 $$\bex s(ABC)\prec_w s(\sen{A}_\infty \sen{C}_\infty B), \eex$$ 而这可由 $$\beex \bea s_j(ABC)&\leq s_1(A)s_j(BC)\quad\sex{\mbox{推论 4.3}}\\ &\leq s_1(A)s_j(B)s_1(C)\quad\sex{\mbox{推论 4.3}}\\ &=\sen{A}_\infty\sen{C}_\infty s_j(B)\quad\sex{s_1(A)=\sen{A}_\infty}\\ &=s_j(\sen{A}_\infty \sen{C}_\infty B) \eea \eeex$$ 立即推出.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.11