12. (Webster) 设 $A=(a_{ij})$ 是有 $k$ 个正元素的 $n$ 阶双随机矩阵. 证明, 存在 $1,2,\cdots,n$ 的一个排列 $\sigma$ 使得 $$\bex \sum_{i=1}^n\frac{1}{a_{i\sigma(i)}}\leq k. \eex$$

证明: 由 Birkhoff 定理 (第 35 页), $$\bex A=\sum \al_kP^k,\quad 0\leq \al_k\leq 1,\quad \sum \al_k=1,\quad P^k\mbox{ 为置换阵}. \eex$$ 而对任一矩阵 $B$, $$\beex \bea B\circ A&=\sum \al_k B\circ P^k,\\ \sum_{i=1}^n b_{ij}a_{ij} &=\sum \al_k \sum_{i,j=1}^n b_{ij}p^k_{ij}\\ &\geq \min_{P\in \Pi_n} \sum_{i,j=1}^n b_{ij}p_{ij}\quad\sex{\Pi_n\mbox{ 为全体置换阵构成的集合}}\\ &=\sum_{i=1}^n b_{i\sigma(i)}\quad\sex{\mbox{存在与 }B\mbox{ 有关的排列 }\sigma}. \eea \eeex$$ 取定 $B$ 为 $$\bee\label{3_12_b} b_{ij}=\sedd{\ba{ll} \cfrac{1}{a_{ij}},&a_{ij}\neq 0,\\ k+1,&a_{ij}=0. \ea} \eee$$ 则 $$\bee\label{3_12_k} k=\sum_{i,j=1}^n b_{ij}a_{ij}\geq \sum_{i=1}^n b_{i\sigma(i)}. \eee$$ 因为各 $b_{i\sigma(i)}\geq 0$, 而由 \eqref{3_12_k} 知 $b_{i\sigma(i)}$ 不可能为 $k+1$, 由 \eqref{3_12_b}, $$\bex b_{i\sigma(i)}=\frac{1}{a_{i\sigma(i)}}. \eex$$ 如此, \eqref{3_12_k} 成为 $$\bex k\geq\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_{i\sigma(i)}}. \eex$$

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.12