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π的平方是无理数吗?

       今天上午做数学题,发现有一个假命题是“任何无理数的平方都是有理数”。很容易找到反例,比如clip_image002肯定是无理数。但是对于无理数π呢?π的平方,三次方,或其他次方,是无理数,还是有理数?

       我的第一感觉就是无理数,上网查了一下,圆周率π不仅是个无理数,而且是个超越数。

 

那么什么是超越数呢?维基百科给出了以下定义:

在数论中,超越数是指任何一个不是代数数的无理数。只要它不是任何一个有理系数代数方程的根,它即是超越数。

超越数是代数数的相反,也即是说clip_image001是一个超越数,那么对于任何整clip_image001[4]都符合:

clip_image001[6](其中an≠0)

其中比较著名的有:π,e,e的π次方,2的√2次方,clip_image006,刘维尔数

 

      在我国著名数学家华罗庚先生的《数论导引》和阂嗣鹤与严士健先生著的《初等数论》中,对π是无理数和超越数都有严格的证明。有兴趣的同学可以看看。

如果π^2是有理数,这意味着 π^2=n/m → mπ^2=n ,即π是整系数方程mx^2=n的根,这与π是超越数矛盾。

用类似的方法可知:π的任何有理数次方都是无理数。