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NOIP2014pj子矩阵[搜索|DP]

题目描述

给出如下定义:

  1. 子矩阵:从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵(保持行与列的相对顺序)被称为原矩阵的一个子矩阵。

例如,下面左图中选取第2、4行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一个2*3的子矩阵如右图所示。

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

的其中一个2*3的子矩阵是

4 7 4

8 6 9

  1. 相邻的元素:矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素(如果存在的话)是相邻的。

  2. 矩阵的分值:矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

本题任务:给定一个n行m列的正整数矩阵,请你从这个矩阵中选出一个r行c列的子矩阵,使得这个子矩阵的分值最小,并输出这个分值。

(本题目为2014NOIP普及T4)

输入输出格式

输入格式:

第一行包含用空格隔开的四个整数n,m,r,c,意义如问题描述中所述,每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的n行,每行包含m个用空格隔开的整数,用来表示问题描述中那个n行m列的矩阵。

输出格式:

输出共1行,包含1个整数,表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

输入输出样例

输入样例#1:
5 5 2 39 3 3 3 99 4 8 7 41 7 4 6 66 8 5 6 97 4 5 6 1
输出样例#1:
6
输入样例#2:
7 7 3 3  7 7 7 6 2 10 55 8 8 2 1 6 2 2 9 5 5 6 1 7 7 9 3 6 1 7 8 1 9 1 4 7 8 8 10 5 9 1 1 8 101 3 1 5 4 8 6
输出样例#2:
16

说明

【输入输出样例1说明】

该矩阵中分值最小的2行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行与第1列、第3列、第4列交叉位置的元素组成,为

6 5 6

7 5 6

,其分值为

|6−5| + |5−6| + |7−5| + |5−6| + |6−7| + |5−5| + |6−6| =6。

【输入输出样例2说明】

该矩阵中分值最小的3行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行、第6行与第2列、第6列、第7列交叉位置的元素组成,选取的分值最小的子矩阵为

9 7 8 9 8 8 5 8 10

【数据说明】

对于50%的数据,1 ≤ n ≤ 12,1 ≤ m ≤ 12,矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 20;

对于100%的数据,1 ≤ n ≤ 16,1 ≤ m ≤ 16,矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 1,000,

1 ≤ r ≤ n,1 ≤ c ≤ m。

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爆搜行和列有点玄乎吧,复杂度O(C(16,8)(C(16,8)+m3))

多维问题考虑降维,只枚举列,然后用DP求选哪些行

l[]枚举的列,hw[i]i行上相邻列的价值,w[i][j]i行和j行相邻的价值,每次枚举l[]重新预处理比较好

f[i][j]表示选了第i行后共选了j行的最小价值,转移枚举上一行k,f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+w[k][i])  f[i][j]+=hw[i]

预处理INF,f[i][0]=0,f[i][1]=hw[i]

PS:关于枚举子集的二进制法剪枝后的复杂度,参见TA爷的神奇分析

 

一定把行列分清,我一直95好多次就是因为枚举列时用了n..........

#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring>#include <cmath>using namespace std;const int N=20,INF=1e9;int n,m,r,c,a[N][N];int l[N],w[N][N],hw[N];int f[N][N],ans=INF;void dp(){    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) f[i][j]=INF,w[i][j]=0,hw[i]=0;    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=c;j++){            if(j>=2) hw[i]+=abs(a[i][l[j]]-a[i][l[j-1]]); f[i][0]=0;f[i][1]=hw[i];            for(int x=i+1;x<=n;x++){                w[i][x]+=abs(a[i][l[j]]-a[x][l[j]]);            }        }    for(int i=1;i<=n;i++){        for(int j=2;j<=min(r,i);j++){            for(int k=1;k<i;k++) f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+w[k][i]);            f[i][j]+=hw[i];        }        ans=min(ans,f[i][r]);    }}int main(int argc, const char * argv[]) {    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c);    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[i][j]);        //inithang();    for(int s=0;s<(1<<m);s++){        int cnt=0;        for(int j=0;j<m;j++)            if(s&(1<<j)){                l[++cnt]=j+1;//j+1                if(cnt>c) break;                if(cnt+m-j-1<c) break;            }        if(cnt==c) dp();    }    cout<<ans;    return 0;}

 

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