#149. 【NOIP2015】子串

有两个仅包含小写英文字母的字符串 AA 和 BB。

现在要从字符串 AA 中取出 kk 个互不重叠的非空子串，然后把这 kk 个子串按照其在字符串 AA 中出现的顺序依次连接起来得到一个新的字符串。请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 BB 相等？

注意：子串取出的位置不同也认为是不同的方案。

输入格式

第一行是三个正整数 n,m,kn,m,k，分别表示字符串 AA 的长度，字符串 BB 的长度，以及问题描述中所提到的 kk，每两个整数之间用一个空格隔开。

第二行包含一个长度为 nn 的字符串，表示字符串 AA。

第三行包含一个长度为 mm 的字符串，表示字符串 BB。

输出格式

输出共一行，包含一个整数，表示所求方案数。

由于答案可能很大，所以这里要求输出答案对 10000000071000000007 取模的结果。

样例一

input

6 3 1aabaabaab

output

2

样例二

input

6 3 2aabaabaab

output

7

样例三

input

6 3 3aabaabaab

output

7

explanation

所有合法方案如下：（加下划线的部分表示取出的子串）

样例一：aab aab / aab aab

样例二：a ab aab / a aba ab / a a ba ab / aab a ab / aa b aab / aa baa b / aab aa b

样例三：a a b aab / a a baa b / a ab a a b / a aba a b / a a b a a b / a a ba a b / aab a a b

限制与约定

时间限制：1s1s

空间限制：128MB128MB

题解：

//参考blog.sengxian.com

※先定义：s[i][j][k]为字符串A第i-1位对应字符串B第j-1位所达到的种类数，f[i][j][k]为A的i-1位和B的j-1位正好配对时所达到的种类数。

※转移方程1：那么很容易得到：s[i][j][k]=s[i-1][j][k]+f[i][j][k]，即当前阶段的种类数=上一阶段未使用i-1位的种类数+使用i-1位的种类数。

※转移方程2：那么现在考虑怎样转移f[i][j][k]，要分两种情况。

　　　　　　1.当A(i-1) ≠ B(j-i)时，很明显f[i][j][k]=0

                  2.当A(i-1) = B(j-i)时，就又回到选与不选的问题上来了。所以，又分两种情况，一是直接和i-1与j-1配对的情况并未同一个子串，二是不并，新成立一个子串

　　　　　　可知：

　　　　　　　　　　　　　　　　0     (A(i-1) ≠ B(j-i))

　　　　　　　　f[i][j][k]=

　　　　　　　　　　　　　　　　f[i-1][j-1][k]+s[i-1][j-1][k-1]　　(A(i-1) = B(j-i))

程序如下:

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#define MXN 1100#define md 1000000007#define fx(x,a,b) for(x=a;x<=b;x++)#define fy(x,a,b) for(x=a;x>=b;x--)using namespace std;int N,M,K,i,j,k,s[MXN][MXN],f[MXN][MXN];char s1[MXN],s2[MXN];int main(){    scanf("%d%d%d",&N,&M,&K);    getchar();    gets(s1);    gets(s2);    s[0][0]=1;    fx(i,1,N)fy(j,M,1)        if(s1[i-1]==s2[j-1])            fy(k,min(K,j),1)                f[j][k]=(s[j-1][k-1]+f[j-1][k])%md,s[j][k]=(s[j][k]+f[j][k])%md;        else fill(f[j],f[j]+min(K,j)+1,0);    printf("%d\n",s[M][K]);    return 0;}

NOIP2015 子串