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BZOJ1925地精部落

传说很久以前,大地上居住着一种神秘的生物:地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说,一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段,每段有一个独一无二的高度 Hi,其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高,则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉,其他都有两段(即左边和右边)。 类似地,如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低,则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒,酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸,地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物,他们在每座山峰上都可以设立瞭望台,并轮 流担当瞭望工作,以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一,只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道,长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i,使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大,你只对它 除以P的余数感兴趣。

 

题解:

易证符合条件长度为n的山脉,开头为峰与开头为谷的种数是相同的。这样,我们可以取F[n]的一半来表示某端点为山峰或山谷的方案数。

在求F[n]时,可以考虑在长度为n-1的山脉中插入高度为n的山峰,枚举插入的位置,则两边离散化后都变成了子问题,可以进行动态规划。因为两边的组成有多种情况,乘上一个组合数即可。

使用杨辉三角求组合数。注意内存限制,需使用滚动数组

 

代码:

var
  i,j,k,l,n,m,p:longint;
  a:array[0..4201]of int64;
  c:array[1..2,0..4201]of longint;
begin
  readln(n,p);
  c[1,1]:=1; c[1,0]:=1;
  a[1]:=1; a[0]:=1;
  for i:=2 to n do
  begin
    for j:=1 to i do
    if j mod 2=1 then
    a[i]:=(a[i]+(a[j-1]*c[1,j-1]mod p)*a[i-j])mod p;
    c[2,0]:=1; c[2,i]:=1;
    for j:=1 to i-1 do
    c[2,j]:=(c[1,j]+c[1,j-1])mod p;
    for j:=1 to i do c[1,j]:=c[2,j];
  end;
  writeln(a[n]*2 mod p);
end.

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