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hdu2159二维背包

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背包九讲----完全背包

N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。

基本思路

这个问题非常类似于01背包问题 ,所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑,与它相关的策略已并非取或不取两种,而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。如果仍然按照解01背包时的思路,令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程,像这样:

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

这跟01背包问题一样有O(N*V)个状态需要求解,但求解每个状态的时间已经不是常数了,求解状态f[i][v]的时间是O(v/c[i]),总的复杂度是超过O(VN)的。

01背包问题的基本思路加以改进,得到了这样一个清晰的方法。这说明01背包问题的方程的确是很重要,可以推及其它类型的背包问题。但我们还是试图改进这个复杂度。

一个简单有效的优化

完全背包问题有一个很简单有效的优化,是这样的:若两件物品i、j满足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j],则将物品j去掉,不用考虑。这个优化的正确性显然:任何情况下都可将价值小费用高得j换成物美价廉的i,得到至少不会更差的方案。对于随机生成的数据,这个方法往往会大大减少物品的件数,从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度,因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。

这个优化可以简单的O(N^2)地实现,一般都可以承受。另外,针对背包问题而言,比较不错的一种方法是:[显然]首先将费用大于V的物品去掉,然后使用类似计数排序的做法,计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个,可以O(V+N)地完成这个优化。这个不太重要的过程就不给出伪代码了,希望你能独立思考写出伪代码或程序。

转化为01背包问题求解

既然01背包问题是最基本的背包问题,那么我们可以考虑把完全背包问题转化为01背包问题来解。最简单的想法是,考虑到第i种物品最多选V/c[i]件,于是可以把第i种物品转化为V/c[i]件费用及价值均不变的物品,然后求解这个01背包问题。这样完全没有改进基本思路的时间复杂度,但这毕竟给了我们将完全背包问题转化为01背包问题的思路:将一种物品拆成多件物品。

更高效的转化方法是:把第i种物品拆成费用为c[i]*2^k、价值为w[i]*2^k的若干件物品,其中k满足c[i]*2^k<=V。这是二进制的思想,因为不管最优策略选几件第i种物品,总可以表示成若干个2^k件物品的和。这样比把每种物品拆成O(log(V/c[i]))件物品,是一个很大的改进。

但我们有更优的O(VN)的算法。

O(VN)的算法

这个算法使用一维数组,先看伪代码:

for i=1..N

    for v=0..V

        f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}

你会发现,这个伪代码与P01的伪代码只有v的循环次序不同而已。为什么这样一改就可行呢?首先想想为什么P01中要按照v=V..0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[i][v]是由状态f[i-1][v-c[i]]递推而来。换句话说,这正是为了保证每件物品只选一次,保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时,依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果f[i-1][v-c[i]]。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件,所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时,却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-c[i]],所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。

dp[i][jj]代表的意思是花费i的忍耐值杀了jj只怪所获得的经验值

这道题基于O(VN)算法的解法代码:

 for(int jj=1;jj<=s;jj++)加了一个杀怪数的约束,这道题每种怪的杀怪数并不是无限的,只是未知的
 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cmath>
 6 using namespace std;
 7 int dp[105][105];
 8 const int inf=1e9;
 9 struct Moster
10 {
11     int per;
12     int end;
13 }moster[105];
14 int main()
15 {
16     int p, n,m,k,s,i,j,a,b;
17     while(~scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&s))
18     {
19         p=0;int ans=inf;
20         memset(dp,0,sizeof(dp));
21         for(i=0;i<k;i++)
22         scanf("%d%d",&moster[i].per,&moster[i].end);
23         for(i=0;i<k;i++)
24         {
25             for(j=moster[i].end;j<=m;j++)
26             {
27                 for(int jj=1;jj<=s;jj++)
28                 {
29                     dp[j][jj]=max(dp[j][jj],dp[j-moster[i].end][jj-1]+moster[i].per);
30                     if(dp[j][jj]>=n&&j<ans)
31                     {
32                         ans=j;
33                     }
34                 }
35             }
36         }
37         if(ans==inf)
38         printf("-1\n");
39         else
40         printf("%d\n",m-ans);
41     }
42     return 0;
43 }

基于状态转移方程  f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}的解法

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cmath>
 6 using namespace std;
 7 int dp[105][105];
 8 const int inf=1e9;
 9 struct Moster
10 {
11     int per;
12     int end;
13 }moster[105];
14 int main()
15 {
16     int p, n,m,k,s,i,j,a,b;
17     while(~scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&s))
18     {
19         p=0;int ans=inf;
20         memset(dp,0,sizeof(dp));
21         for(i=0;i<k;i++)
22         scanf("%d%d",&moster[i].per,&moster[i].end);
23         for(i=1;i<=m;i++)
24         {
25             for(j=0;j<k;j++)
26             for(int jj=1;jj<=s;jj++)
27             {
28                 int ant=1;
29                 while((i>=moster[j].end*ant)&&ant<=jj)
30                 {
31                     ant++;
32                     dp[i][jj]=max(dp[i][jj],dp[i-moster[j].end][jj-1]+moster[j].per);
33                 }
34             }
35             if(dp[i][s]>=n)
36             {
37                 ans=i;break;
38             }
39         }
40         if(ans==inf)
41         printf("-1\n");
42         else
43         printf("%d\n",m-ans);
44     }
45     return 0;
46 }
 if(dp[i][s]>=n)
{
ans=i;break;

}

花费i的忍耐值杀了s值怪后获得的经验值满足升级所需的经验值就跳出循环

花费忍耐值就是最低的,题目只要求花费忍耐值最低,并不要求杀怪数(当然是最大杀怪数满足题目的要求下)

hdu2159二维背包