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博弈论1
首先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于一个给定的有向无环图,定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下:g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 },这里的g(x)即sg[x]
例如:取石子问题,有1堆n个的石子,每次只能取{1,3,4}个石子,先取完石子者胜利,那么各个数的SG值为多少?
sg[0]=0,f[]={1,3,4},
x=1时,可以取走1-f{1}个石子,剩余{0}个,mex{sg[0]}={0},故sg[1]=1;
x=2时,可以取走2-f{1}个石子,剩余{1}个,mex{sg[1]}={1},故sg[2]=0;
x=3时,可以取走3-f{1,3}个石子,剩余{2,0}个,mex{sg[2],sg[0]}={0,0},故sg[3]=1;
x=4时,可以取走4-f{1,3,4}个石子,剩余{3,1,0}个,mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;
x=5时,可以取走5-f{1,3,4}个石子,剩余{4,2,1}个,mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3;
以此类推.....
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....
sg[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....
计算从1-n范围内的SG值。
f(存储可以走的步数,f[0]表示可以有多少种走法)
f[]需要从小到大排序
1.可选步数为1~m的连续整数,直接取模即可,SG(x) = x % (m+1);
2.可选步数为任意步,SG(x) = x;
3.可选步数为一系列不连续的数,用GetSG()计算
模板1:
1 //f[]:可以取走的石子个数 2 //sg[]:0~n的SG函数值 3 //hash[]:mex{} 4 int f[N],sg[N],hash[N]; 5 void getSG(int n) 6 { 7 int i,j; 8 memset(sg,0,sizeof(sg)); 9 for(i=1;i<=n;i++)10 {11 memset(hash,0,sizeof(hash));12 for(j=1;f[j]<=i;j++)13 hash[sg[i-f[j]]]=1;14 for(j=0;j<=n;j++) //求mes{}中未出现的最小的非负整数15 {16 if(hash[j]==0)17 {18 sg[i]=j;19 break;20 }21 }22 }23 }
模板2:
1 //注意 S数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍 2 //n是集合s的大小 S[i]是定义的特殊取法规则的数组 3 int s[110],sg[10010],n; 4 int SG_dfs(int x) 5 { 6 int i; 7 if(sg[x]!=-1) 8 return sg[x]; 9 bool vis[110];10 memset(vis,0,sizeof(vis));11 for(i=0;i<n;i++)12 {13 if(x>=s[i])14 {15 SG_dfs(x-s[i]);16 vis[sg[x-s[i]]]=1;17 }18 }19 int e;20 for(i=0;;i++)21 if(!vis[i])22 {23 e=i;24 break;25 }26 return sg[x]=e;27 }
hdu 1848
题意:取石子问题,一共有3堆石子,每次只能取斐波那契数个石子,先取完石子者胜利,问先手胜还是后手胜
- 可选步数为一系列不连续的数,用GetSG(计算)
- 最终结果是所有SG值异或的结果
AC代码如下:
1 #include<stdio.h> 2 #include<string.h> 3 #define N 1001 4 //f[]:可以取走的石子个数 5 //sg[]:0~n的SG函数值 6 //hash[]:mex{} 7 int f[N],sg[N],hash[N]; 8 void getSG(int n) 9 {10 int i,j;11 memset(sg,0,sizeof(sg));12 for(i=1;i<=n;i++)13 {14 memset(hash,0,sizeof(hash));15 for(j=1;f[j]<=i;j++)16 hash[sg[i-f[j]]]=1;17 for(j=0;j<=n;j++) //求mes{}中未出现的最小的非负整数18 {19 if(hash[j]==0)20 {21 sg[i]=j;22 break;23 }24 }25 }26 }27 int main()28 {29 int i,m,n,p;30 f[0]=f[1]=1;31 for(i=2;i<=16;i++)32 f[i]=f[i-1]+f[i-2];33 getSG(1000);34 while(scanf("%d%d%d",&m,&n,&p)!=EOF)35 {36 if(m==0&&n==0&&p==0)37 break;38 if((sg[m]^sg[n]^sg[p])==0)39 printf("Nacci\n");40 else41 printf("Fibo\n");42 }43 return 0;44 }
hdu 1536
题意:首先输入K 表示一个集合的大小 之后输入集合 表示对于这对石子只能去这个集合中的元素的个数
之后输入 一个m 表示接下来对于这个集合要进行m次询问
之后m行 每行输入一个n 表示有n个堆 每堆有n1个石子 问这一行所表示的状态是赢还是输 如果赢输入W否则L
1 #include<stdio.h> 2 #include<string.h> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 //注意 S数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍 6 //n是集合s的大小 S[i]是定义的特殊取法规则的数组 7 int s[110],sg[10010],n; 8 int SG_dfs(int x) 9 {10 int i;11 if(sg[x]!=-1)12 return sg[x];13 bool vis[110];14 memset(vis,0,sizeof(vis));15 for(i=0;i<n;i++)16 {17 if(x>=s[i])18 {19 SG_dfs(x-s[i]);20 vis[sg[x-s[i]]]=1;21 }22 }23 int e;24 for(i=0;;i++)25 if(!vis[i])26 {27 e=i;28 break;29 }30 return sg[x]=e;31 }32 int main()33 {34 int i,m,t,num;35 while(scanf("%d",&n)&&n)36 {37 for(i=0;i<n;i++)38 scanf("%d",&s[i]);39 memset(sg,-1,sizeof(sg));40 sort(s,s+n);41 scanf("%d",&m);42 while(m--)43 {44 scanf("%d",&t);45 int ans=0;46 while(t--)47 {48 scanf("%d",&num);49 ans^=SG_dfs(num);50 }51 if(ans==0)52 printf("L");53 else54 printf("W");55 }56 printf("\n");57 }58 return 0;59 }
多个组合游戏的并
给定若干个组合游戏,可以按照下面的规则将它们并成一个新的游戏。 l 对每个游戏给定初始状态。 l 两人轮流走步,从A开始。 l 每一轮,选择一个未到达终止状态的游戏,在这个游戏中按照规则走一步,其他游戏的状态不变。 l 最后一个走步者获胜,即走完之后所有游戏都到达终止状态。 我们称这个新的游戏为“多个组合游戏的并”。我们要来看如何用每一个游戏的SG函数来求这个新的组合游戏的SG函数。
n个图游戏的并 定义:有n个递增有界的图游戏G1(X1, F1),……,Gn(Xn, Fn)。把它们合并成一个新的游戏G(X, F),记为G=G1+G2+…+Gn。X是所有游戏顶点集的笛卡尔积,即X=X1*X2*…*Xn。也就是说,我们用n元组(x1, x2, …, xn)来表示G中的顶点x,其中xi属于Xi,对于所有的i。x的后继F(x)可以定义成:
这样定义的新的游戏G,一定也是递增有界的。把每个游戏的界相加,就得到了新游戏的界。 正如Nim游戏那样,如果堆数是1,那么非常简单;如果堆数是2,也很容易分析;但堆数如果大于2,就不是很明显了。所以即使每个图游戏都是很平凡的,n个图游戏的并也可能相当复杂。
下面介绍的SG定理可以看成是定理1的一般化。 定理2 设G=G1+G2+…+Gn,Gi的SG函数是gi,i=1, 2, …, n。那么G的SG函数g(x1, x2, …, xn)=g1(x1)+g2(x2)+…+gn(xn),加法表示Nim和,即不进位的二进制加法。 证明: 令x(x1, x2, …, xn)是X中任意一点,b= g1(x1)+g2(x2)+…+gn(xn)。 根据SG函数的定义,我们要说明两点: (1)、对于任意的非负整数a(a<b),一定存在一个x的后继y,使得g(y)=a。 (2)、x的任意一个后继y,都有g(y)¹b。 首先来说明(1)。设d=a+b(nim和),d的二进制表示有k位,则2k-1<=d<2k。d的第k位是1而且a<b,所以a的第k位是0,b的第k位是1。因为b= g1(x1)+g2(x2)+…+gn(xn),所以至少存在一个分量的第k位是1,不妨设它就是g1(x1)。那么,就有d+g1(x1)<g1(x1),也就存在从x1到x1’的一次走步,使得g1(x1’) =d+g1(x1)。那么g1(x1’)+g2(x2)+…+gn(xn)=d+g1(x1)+g2(x2)+…+gn(xn) = d+b=a。 再说明(2)。反证法。不失一般性,假设后继的走步是从x1到x1’,又有g1(x1’)+g2(x2)+…+gn(xn) =g1(x1)+g2(x2)+…+gn(xn)。根据消去率,g1(x1’)=g1(x1),这与SG函数的定义不符,假设不成立。
例3、你每次可以从一堆石子中取走{1, 2, …, m}颗。对于1堆的问题,SG函数gm(x)=x mod (m+1)。如果考虑3个这样的游戏的并,第一个游戏m=3,有9颗石子;第二个游戏m=5,有10颗石子;第三个游戏m=7,有14颗石子。g(9,10,14)=g3(9)+g5(10)+g7(14)=1+4+6=3,是一个N状态。要取胜的话,下一次可以选择第三个游戏,取走1颗石子,使得g7(13)=5。
博弈论1