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Crash的数字表格（bzoj 2054）

2024-09-10 08:08:48   216人阅读

Description

今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。

Input

输入的第一行包含两个正整数，分别表示N和M。

Output

输出一个正整数，表示表格中所有数的和mod 20101009的值。

Sample Input

4 5

Sample Output

122
【数据规模和约定】
100%的数据满足N, M ≤ 10^7。
/*
    证明见PoPoQQQ课件：
    https://wenku.baidu.com/view/fbec9c63ba1aa8114431d9ac.html?from=search 
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#define N 10000010
#define mod 20101009
#define lon long long
using namespace std;
int mu[N],prime[N],mark[N],num,n,m;
lon sum[N];
void get_prime(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!mark[i]) prime[++num]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=num&&i*prime[j]<=n;j++){
            mark[i*prime[j]]=1;
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            if(i%prime[j]==0){
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=(sum[i-1]+(1LL*mu[i]*i%mod*i%mod))%mod;
}
lon getsum(lon x,lon y){
    x=(x*(x+1)/2)%mod;
    y=(y*(y+1)/2)%mod;
    return x*y%mod;
}
lon getf(int x,int y){
    int pos;lon ans=0;
    for(int i=1;i<=min(x,y);i=pos+1){
        pos=min(x/(x/i),y/(y/i));
        ans=(ans+(sum[pos]-sum[i-1]+mod)%mod*getsum((lon)x/i,(lon)y/i)%mod)%mod;
    }
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n>m) swap(n,m);
    get_prime();
    int pos;lon ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i=pos+1){
        pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans=(ans+1LL*(i+pos)*(pos-i+1)/2%mod*getf(n/i,m/i)%mod)%mod;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

 

Crash的数字表格（bzoj 2054）


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