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BZOJ 2154: Crash的数字表格 [莫比乌斯反演]
2154: Crash的数字表格
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Description
今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。
Input
输入的第一行包含两个正整数，分别表示N和M。
Output
输出一个正整数，表示表格中所有数的和mod 20101009的值。
Sample Input
4 5
Sample Output
122
【数据规模和约定】
100%的数据满足N, M ≤ 10^7。
【数据规模和约定】
100%的数据满足N, M ≤ 10^7。
计算所有lcm(i,j)的和
考虑每个gcd的取值，
那么可以得到
ans=Σ{d=1...min(n,m)}f(n,m,d)/d 进一步改写方便分块
(原因：考虑所有gcd(i,j)=k的i和j都是ii*k和jj*k且gcd(ii,jj)=1)
问题就是求解f函数，发现f函数和bzoj2301中用的“
- f(i)为1<=x<=n,1<=y<=m且gcd(x,y)=i的数对(x,y)的个数
构造F(x,y,k)为k|gcd(i,j)的i*j和，想办法直接算出F
(原因：k|gcd(i,j) --> 所有的k的倍数)
莫比乌斯反演
ans需要的部分即为
我们发现ans的部分用f可以sqrt(n)分块，求f的时候又可以sqrt(n)分块(处理mu[i]*i*i前缀和)，总共O(n)
经验：
需要f(x,y,1)想的时候不要只想1，这样并不好就行莫比乌斯反演
注意：
前缀和要用ll，然而本题int也没问题
#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <cmath>using namespace std;typedef long long ll;const int N=1e7+5,MOD=20101009;inline int read() { char c=getchar(); int x=0,f=1; while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar();} while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘;c=getchar();} return x*f;}int n,m;bool notp[N];int p[N];ll s[N],mu[N];void sieve(int n){ mu[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++){ if(!notp[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1; for(int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=n;j++){ int t=i*p[j]; notp[t]=1; if(i%p[j]==0){ mu[t]=0; break; } mu[t]=-mu[i]; } } for(ll i=1;i<=n;i++) s[i]=(s[i-1]+(i*i*mu[i])%MOD)%MOD;}inline ll S(ll x,ll y){ return ((x*(x+1)/2)%MOD)*((y*(y+1)/2)%MOD)%MOD;}ll f(ll n,ll m){ ll ans=0,r=0; for(ll d=1;d<=n;d=r+1){ r=min(n/(n/d),m/(m/d)); ans=(ans+(s[r]-s[d-1])*S(n/d,m/d)%MOD)%MOD; } return ans;}int main() { n=read(); m=read(); sieve(n); if(n>m) swap(n,m); ll ans=0,r=0; for(ll d=1;d<=n;d=r+1){ r=min(n/(n/d),m/(m/d)); ans=(ans+f(n/d,m/d)*((r-d+1)*(r+d)/2)%MOD)%MOD; } printf("%lld",(ans+MOD)%MOD);}
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