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泛函和变分法导引

本文主要内容取自于浙江大学的一篇PPT,作者为Hongxin Zhang。源网页在:

http://www.cad.zju.edu.cn/home/zhx/FAVM/1.pdf

问题的起源

我们知道,平面上两点间直线距离最短。然而如何证明呢?

假设l两点坐标分别为(0,0)和(a,b),连接两点之间的曲线方程为f(x),那么曲线在两点间的长度可以写为:

$s=\int_{0}^{a}\sqrt{1+y‘^2}dx$

两点间距离最短,即上式取最小值,同时满足约束条件y(0)=0,y(a)=b。这就是最简单的变分问题。

在上面的式子中,距离s是函数y(x)的函数,或称泛函。一般的函数f(x)在实数x和实数f(x)之间建立对应关系;泛函$\Pi (x)$在函数f(x)和实数$\Pi (x)$之间建立对应关系。

变分法假定泛函取得极值的函数y(x)存在,通过变分法求得泛函取极值时y(x)所需满足的微分方程。

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