1. 证明定理 1.

2. 验证上述结论.

3. 证明定理 3.

4. 证明定理 4.

证明: 由 $$\bex x=\sum_{k=1}^{n-1}a_k\cdot \sum_{j=1}^{n-1}\cfrac{a_j}{\sum_{k=1}^{n-1}a_k}x_j+a_nx_n \eex$$ 及数学归纳法即知结论.

5. 证明定理 5.

证明: 仅证明 (iv). 设 $A,B$ 为两凸子集, 则对 $$\bex \forall\ x+y,u+v\in A+B, \eex$$ 有 $$\beex \bea a(x+y)+(1-a)(u+v)&=[ax+(1-a)u]+[ay+(1-a)v]\\ &\in A+B\quad\sex{\forall\ 0\leq a\leq 1}. \eea \eeex$$

6. 证明定理 6.

7. 证明定理 7.

证明: 设 $$\bex F\ni x=\cfrac{y+z}{2},\quad y,z\in K. \eex$$ 由 $E$ 是 $K$ 的极子集知 $$\bex y,z\in E. \eex$$ 又由 $F$ 是 $E$ 的极子集知 $$\bex y,z\in F. \eex$$

8. 证明定理 8.

证明: 若 ${\bf M}^{-1}(E)\neq \vno$, 则由习题 5 (ix), ${\bf M}^{-1}( E)$ 是 ${\bf M}^{-1}(K)$ 的非空凸集. 设 $$\bex {\bf M}^{-1}(E)\ni x=\cfrac{y+z}{2},\quad y,z\in{\bf M}^{-1}(K), \eex$$ 则 $$\bex E\ni {\bf M}(x)=\cfrac{{\bf M}(y)+{\bf M}(z)}{2},\quad {\bf M}(x),{\bf M}(y)\in K. \eex$$ 由 $E$ 是 $K$ 的极子集知 $$\bex {\bf M}(y),{\bf M}(z)\in E, \eex$$ 而 $$\bex y,z\in {\bf M}^{-1}(E). \eex$$

9. 举例说明极子集在线性映射下的象未必是象的极子集.

解答: 取 $X=\bbR^2$, $U=\bbR$; $K$ 为梯形, 其顶点为 $(-1,0)$, $(2,0)$, $(1,1)$, $(0,1)$; $E$ 为 $K$ 的上底; ${\bf M}:X\to U$ 为 ${\bf M}(x,y)=x$. 则 ${\bf M}(E)=[0,1]$ 不是 ${\bf M}(K)$ 的极子集.