第二章  Hilbert空间

                                                                                                                                                                                                                                      —zwb565055403

1.设$X$是内积空间，$x,y \in X$,试证明:
(i)如果$x$与$y$正交，则$x$与$y$线性无关；
(ii)$x$与$y$正交的充要条件是对任意数$\alpha$，
$$\|x+\alpha y\|=\|x-\alpha y\|$$
(iii) $x$与$y$正交的充要条件是对任意数$\alpha$，
$$||x+\alpha y||\geq ||x||$$
证明：
(i)由题知$(x,y)=(y,x)=0$,不妨设$\lambda_{1}x+\lambda_{2}y=0$,
则有
$$(\lambda_{1}x+\lambda_{2}y,y)=\lambda_{2}(y,y)=0,y\neq 0$$
所以$\lambda_{2}=0$，同理$\lambda_{1}=0$
(ii)由$||x+\alpha y||=||x-\alpha y||$得知其等价于
$$\overline{\alpha}(x,y)+\alpha (y,x)=0$$
故必要性显然，充分性若上式成立分取
$\alpha=1$,有
$$(x,y)+(y,x)=0$$
$\alpha=-i$,有
$$(x,y)-(y,x)=0$$
联立上两式解得$(x,y)=(y,x)=0$
(iii)必要性
$$||x+\alpha y||^{2}=||x||^{2}+|\alpha|^{2}||y||^{2} \geq ||x||^{2}$$
充分性
$$||x+\alpha y|| \geq |||x| \Leftrightarrow| \alpha|^{2}||y||^{2}+\overline{\alpha}(x,y)+\alpha (y,x) \geq 0
$$
取$\alpha$为实数易得
$$(x,y)+(y,x)=0$$
取$\alpha$为纯虚数易得
$$(x,y)-(y,x)=0$$
所以$(x,y)=0$
2.设$\{e_{n}\}$是Hilbert空间H中的正规正交集，则对任意$x,y \in X$,
$$\sum_{n=1}^{\infty}|(x,e_{n})||(y,e_{n})| \leq \|x\| \|y\|$$
证明：
由Cauchy不等式有
$$\sum_{n=1}^{\infty}|(x,e_{n})||(y,e_{n})|^{2}\leq \sum_{n=1}^{\infty}(x,e_{n})^{2}
\sum_{n=1}^{\infty}(y,e_{n})^{2}$$
又$\{e_{n}\}$是Hilbert空间H中的正规正交集，继而由Bessle不等式
$$\sum_{n=1}^{\infty}(x,e_{n})^{2}\sum_{n=1}^{\infty}(y,e_{n})^{2}\leq \|x\|\|y\|$$
3.设$\{e_{n}\}$是Hilbert空间H的正规正交集,
$$x=\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}e_{n},y=\sum_{n=1}^{\infty}
\beta_{n}e_{n}$$ 试证明
$$(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}\overline{\beta}_{n}$$
且右端级数绝对收敛. 
证明:
$$(\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}e_{k},\sum_{k=1}^{n}\beta_{n}e_{n})=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}(e_{k},\sum_{k=1}^{n}\beta_{k}e_{k})=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\overline{\beta}_{k}$$
所以有
$$(x,y)=\lim_{n\to \infty}(\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}e_{k},\sum_{k=1}^{n}\beta_{n}e_{n})=\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{k}\overline{\beta}_{k}$$
由题2有不等式
\begin{eqnarray*}
(x,y)&=&\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{k}\overline{\beta}_{k}\\
&=&\sum_{k=1}^{\infty}(x,e_{k}) \overline{(y,e_{k})}\\
&\leq&\sum_{k=1}^{\infty}|(x,e_{k})| |\overline{(y,e_{k})|}\\
&\leq&\|x\|\|y\|\\
\end{eqnarray*}
所以$\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}\overline{\beta}_{n}$ 绝对收敛
4.设$\{e_{n}\}$是可分Hilbert空间H的正规正交基.证明:任給$x,y \in H$,
$$(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}(x,e_{n}) \overline{(y,e_{k})}$$
证明：正规正交基是极大正规正交集，故其结论蕴含于上题.
5.设$D$是$R^{n}$的一个区域,令$L^{2}(D)$表示所有$D$上的平方可积的复值函数$f(x)$按逐点定义的加法和数乘形成的线性空间，设
$$(f,g)=\int_{D}f(x)\overline{g(x)}dx,when f,g \in L^{2}(D) $$ 
试证明：$L^{2}(D)$按如上定义的内积是一个Hilbert 空间.
证明: 
(1)$(f,f)\geq 0$,当且仅当$f=0$时等式成立.
(2)$(f_{1}+f_{2},g)=(f_{1},g)+(f_{2},g) $
(3)$(af,g)=a(f,g),a \in F $ 
(4)$(f,g)=\overline{(g,f)}$
(5)完备性证明，设$\{x_{n}\}$是内积空间的Cauchy 列,则$\forall \varepsilon= \frac{1}{2^{k}}>0 \exists N_{k}$,当$n\geq N_{k}$时
$$||x_{n}-x_{m}||<\varepsilon=\frac{1}{2^{k}}$$
不妨设$N_{1}<N_{2}<\cdot\cdot\cdot<N_{k}<\cdot\cdot\cdot$, 则有
$$\sum_{k=1}^{\infty}||x_{N_{k+1}}-x_{N_{k}}||<\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{k}}<\infty$$
\begin{eqnarray*}
\int_{D} \sum_{k=1}^{\infty}|x_{N_{k+1}}-x_{N_{k}}|dx&=&\sum_{k=1}^{\infty}\int_{D} |x_{N_{k+1}}-x_{N_{k}}|dx(Levi)\\
&\leq & m^{1/2}(D)(\int_{D} |x_{N_{k+1}}-x_{N_{k}}|^{2}dx)^{\frac{1}{2}}(Cauchy)\\
&=&m^{1/2}(D)\sum_{k=1}^{\infty}||x_{N_{k+1}}-x_{N_{k}}||\\
&\leq&\infty
\end{eqnarray*}
 于是$\sum_{k=1}^{\infty}(x_{N_{k}}-x_{N_{k}})$ 在$D$上几乎处处收敛.设
$$\lim_{j \to \infty}x_{N_{j}}(t)=x(t),a.e,x\in D$$
下证$x_{N_{k}}-x(t)\in L^{2}(D)$
\begin{eqnarray*}
\int_{D}|x_{N_{k}}-x(t)|^{2} dx & \leq & \underline{\lim}_{j\to \infty} \int_{D}|x_{N_{k}}-x_{N_{j}}|^{2}dx\\
& \leq &\underline{\lim}_{j\to \infty}||x_{N_{k}}-x_{N_{j}}||^{2}\\
& \leq & \frac{1}{2^{2 k}}
\end{eqnarray*}
从而$x(t)\in L^{2}(D)$,任意$\varepsilon >0$,$\exists N$,当$n,m>N,\exists K,N_{k}>N$
$$||x_{n}-x_{m}||< \varepsilon ,||x_{n}-x_{N_{k}}||<\varepsilon $$
继而再次利用Fatou引理可得
$$||x_{n}-x(t)||^{2}\to 0$$
完备性得证.
6.证明：$l^{p}(p\neq 2)$不可能是内积空间. 
证明:我们已知X能赋以内积的充要条件是X中的范数满足平行四边形法则法则.(P50)
取$x,y \in l^{p}$,若$l^{p}$为内积空间
则有\\
$$||x+y||^{2}+||x-y||^{2}=2(||x||^{2}+||y||^{2})$$
取$x=e_{1}+e_{2};y=e_{1}-e_{2}$代入上式有
\begin{eqnarray*}
||x+y||^{2}+||x-y||^{2}&=&4||e_{1}||^{2}+4||e_{2}||^{2}
&=&8\\
&=&2(||e_{1}-e_{2}||^{2}+||e_{1}+e_{2}||^{2})\\
&=&2^{2+\frac{2}{p}}
\end{eqnarray*}
由此解得$p=2$.也就是说只有$l^{2}$可能为内积空间.证毕.
7.$\{{u}_{n}\}$是线性无关的，验证按$Schmidt$正规正交法得到的集$\{\nu_{n}\}$是正规正交集.
证明：$\{u_{n}\}$按$Schmidt$正规正交化手续
$$\omega_{n}=u_{n}-\sum_{k=1}^{n-1}(u_{n},\nu_{k})\nu_{k};\nu_{n}=\frac{\omega_{n}}{||\omega_{n}||}$$
所以有
\begin{eqnarray*}
(\nu_{i},\nu_{j})&=&\frac{1}{||\omega_{i}||||\omega_{j}||}(\omega_{i},\omega_{j})\\
&=&\frac{1}{\|\omega_{i}\|\|\omega_{j}\|}(u_{i}-\sum_{k=1}^{i-1}(u_{i},\nu_{k})\nu_{k},u_{j}-\sum_{k=1}^{j-1}(u_{j},\nu_{k})\nu_{k})
\end{eqnarray*}
8.证明射影定理的唯一性.
射影定理:设$M$是Hilbert空间的闭子空间,则每个$x\in H$都可以唯一分解表示成
$$x=y+z.y\in M,z\in M^{\bot}$$
证明：首先易得结论(i)$M\cap M^{\bot}=\{0\}$,(ii)$M^{\bot}$亦为子空间
设$x$亦可分解成
$$x=y_{1}+z_{1}.y_{1}\in M,y_{2}\in M^{\bot}$$
所以
$$y-y_{1}=z-z_{1}\in M\cap M^{\bot}$$
得知$y=y_{1},z=z_{1}$.唯一性证毕.
9.设$M$是Hilbert空间H的一个线性流形，证明:
(i)$M^{\bot}$是H的闭子空间. 
(ii)$(\overline{M})^{\bot}=M^{\bot}$
(iii)如果$M_{1}$也是H的线性流形使$M\subset
M_{1}$,则有$M_{1}^{\bot}\subset M^{\bot}$
证明:
(i)$\forall x,y\in M^{\bot},\alpha \in
F$由内积对对第一元的线性性,易得
$$x+y \in M^{\bot},\alpha x\in M^{\bot}$$
设$x_{n} \to x,x_{n}\in M^{\bot}$,由内积的连续性知$x\in M^{\bot}$
(ii)$\overline{M}=M\cup M‘$,$\forall x\in
(\overline{M})^{\bot}$则$(x,M\cup M‘)=0\Longrightarrow (x,M)=0,x\in M^{\bot}$
另一方面,若$x\in M^{\bot},(x,M)=0$,由内积的连续性知
$$(x,M‘)=0\Longrightarrow (x,M\cup M‘)=0, x\in (\overline{M})^{\bot}$$
(iii)$\forall x\in M$则$(x,M_{1})=0\Longrightarrow
(x,M)=0\Longrightarrow x\in M^{\bot}$
10.试证明$H^{*}$按如下范数:
$$||f||=sup\{|f(x)|:||x||\leq 1\},f\in H^{*}$$
是完备的赋范线性空间.
证明：设$f_{n}$是$H^{*}$上Cauchy列，$\forall \varepsilon>0,\exists N$,当$n,m>N$时,
$$||f_{n}-f_{m}||=sup\{|f_{n}(x)-f_{m}(x)|:||x||\leq 1\}$$
所以
$$|f_{n}-f_{m}|<\varepsilon,\forall ||x||\leq 1$$
上式说明了$f_{n}(x)$在$||x||\leq 1$上是一致收敛的，设$f_{n}(x)$一致收敛于$f(x)$,
所以
$$||f_{n}-f||=\lim_{m\to \infty}sup\{ |f_{n}(x)-f_{m}(x)|:||x||\leq 1 \}=0$$
即$f_{n}\to f$,由$\mathcal{C}$的完备性知$f\in
H^{*}$,所以$H^{*}$按$||\cdot||$是完备的赋范线性空间.
11.证明：对任意的$x\in H$
$$||x||=sup\{|(x,y)|:||y||\leq 1\}$$
证明：当$x=0$时结论是显然的.不妨设$x\neq 0$
一方面有不等式
$$sup\{|(x,y)|:||y||\leq 1\}\geq |(x,\frac{x}{||x||})|=||x||$$
另一方面由$CBS$不等式
$$sup\{|(x,y)|:||y||\leq 1\}\leq \{\|x\|\|y\|:||y||\leq 1\}\leq
||x||$$
综上既有结论成立.
12.验证定理3.3中的$A$是$H$上有界线性算子. 
定理3.3：设$\varphi(x,y)$是$H$上的有界共轭双线性泛函,则恰有$H$上的一个有界线性算子$A$使得
$$\varphi (x,y)=(Ax,y).x,y\in H$$
证明：由$\varphi$的有界性知，$\exists C$使得
$$|\varphi (x,y)|=|(Ax,y)|\leq C\|x\|\|y\|$$
由题11知
$$||Ax||=sup\{|(Ax,y)|:||y||\leq 1\}\leq C||x||$$
所以$A$为有界算子，其线性性则显然.
13.设$\{e_{n}\}$是Hilbert空间$H$中的一个正规正交集,如果对每一个$x\in
H$
$$||x||^{2}=\sum_{n=1}^{\infty}|(x,e_{n})|^{2}$$
则称$\{e_{n}\}$是完备的.
设$\{e_{n}\},\{f_{n}\}$是$H$的两组正规正交集,适合
$$\sum_{n=1}^{\infty}||e_{n}-f_{n}||<1$$
试证明：$\{e_{n}\}$是完备的当且仅当$\{f_{n}\}$是完备的.
证明:只需证明必要性即可.我们只需考虑$\{f_{n}\}$ 是极大的正规正交集即可.
即$(x,f_{n})=0,\forall n$，则$x=0$
\begin{eqnarray*}
||x||^{2}&=&\sum_{n=1}^{\infty}|(x,e_{n})|^{2}\\
&=&\sum_{n=1}^{\infty}|(x,e_{n}-f_{n})|^{2}\\
&\leq&\sum_{n=1}^{\infty}||x||^{2}||e_{n}-f_{n}||^{2}\\
&=&||x||^{2}\sum_{n=1}^{\infty}||e_{n}-f_{n}||^{2}\\
\end{eqnarray*}
所以
$$(1-\sum_{n=1}^{\infty}||e_{n}-f_{n}||^{2})||x||^{2}\leq 0$$
又$(1-\sum_{n=1}^{\infty}||e_{n}-f_{n}||^{2})>0$, 所以$||x||=0,x=0$.证毕.
14.设$T$是从Hilbert空间$H_{1}$到$H_{2}$的有界线性算子,证明$T^{*}$是从$H_{2}$ 到$H_{1}$的有界线性算子.
证明：
$$||T^{*}(x)||^{2}=(T^{*}x,T^{*}x)=(TT^{*}x,x)\leq\|T\|\|T^{*}\|\|x\|^{2}$$
所以有$||T^{*}||\leq ||T||<\infty$证毕.
15.设$T$是Hilbert空间$H$上的有界线性算子，试证明:若对一切$x\in
H$,$Re(Tx,x)=0$,则$T+T^{*}=0$.
引理： 设$A\in B(H),A=A^{*}$即$A$为自伴随的有界泛函且$\forall x\in
H,(Ax,x)=0$,则有$A=0$.
所以由题知
$$2Re(Tx,x)=(Tx,x)+(x,Tx)=(Tx,x)+(T^{*}x,x)=((T+T^{*})x,x)=0,\forall x\in
H$$
且有$(T+T^{*})^{*}=T+T^{*}$由引理知$T+T^{*}=0$
16.设$T$是空间$l^{2}$上的有界线性算子:
$$T:x=(\xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n},\cdots)\mapsto
Tx=(\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{n},\cdots)$$
其中
$$\eta_{n}=\sum_{k=1}^{\infty}a_{nk}\xi_{k},n=1,2,\cdots$$
又设$T^{*}$是$T$的伴随算子:
$$T^{*}:x=(\xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n},\cdots)\mapsto
T^{*}x=(\eta_{1}^{*},\eta_{2}^{*},\cdots,\eta_{n}^{*},\cdots)$$
而且
$$\eta_{n}^{*}=\sum_{k=1}^{\infty}a_{nk}^{*}\xi_{k},n=1,2,\cdots$$
试证明：
$$a_{nk}^{*}=\overline{a}_{kn},n,k=1,2,\cdots$$
证明：设$e_{n}=\{0,0,\cdots,1,\cdots \}$,$1$为第$n$元素.$\{e_{n}\}\in l^{2}$
依定义则有
$$Te_{k}=\{a_{mk}\}=\{a_{1k},a_{2k},\cdots\};T^{*}e_{n}=\{a_{mn}^{*}\}=\{a_{1n}^{*},a_{2n}^{*},\cdots \},m=1,2,\cdots$$
所以
$$a_{nk}=(Te_{k},e_{n})=(e_{k},T^{*}e_{n})=\overline{a}_{kn}^{*}$$
两边取共轭即得结论.第二章解答完毕.$\sharp $