1. 验证两个线性映射的复合仍是线性映射而且满足分配律: $$\bex {\bf M}({\bf N}+{\bf K})={\bf M}{\bf N}+{\bf M}{\bf K},\quad ({\bf M}+{\bf K}){\bf N}={\bf M}{\bf N}+{\bf K}{\bf N}. \eex$$

2. 证明定理 1.

证明: 证 (iii). 定义 $$\bex {\bf M}:\quad X/ N_{{\bf M}}\ni [x]\to {\bf M} x\in R_{{\bf M}}. \eex$$ 则它是良定义的: $$\bex x-y\in N_{{\bf M}}\ra {\bf M} x={\bf M} y, \eex$$ 且显然是满射. 又 $$\bex {\bf M} x=0\ra x\in N_{{\bf M}}\ra [x]=0, \eex$$ 而也是单射. 证 (v): $$\beex \bea x\in N_{{\bf M}}&\ra {\bf M} x=0\\ &\ra {\bf K}{\bf M} x=0\\ &\ra x=0;\\ w\in W&\ra \exists\ x\in X,\st w={\bf K}{\bf M} x\\ &\ra w={\bf K}({\bf M} x)\in R_{{\bf K}}. \eea \eeex$$

3. ${\bf S}$ 在 $X/Y$ 上的零空间是什么?

解答: 设 $$\bex {\bf S}[x]=[{\bf S} x]=0, \eex$$ 则 ${\bf S} x\in Y$, 而 $x(t-1)$ 在 $t\leq0$ 时为 $0$; $x(t)$ 在 $t\leq -1$ 时为 $0$. 故 ${\bf S}$ 在 $X/Y$ 上的零空间是在 $t\leq -1$ 上为零的有界连续函数的等价类.

4. 证明定理 5.

证明: (i) 设 ${\bf K}, {\bf M}$ 均退化, 则 $$\bex \dim R_{{\bf K}}<\infty,\quad \dim R_{{\bf M}} <\infty. \eex$$ 对 $\forall\ x\in X$, $$\bex ({\bf K}+{\bf M})(x)={\bf K} x+{\bf M} x\in R_{{\bf K}}+R_{{\bf M}}. \eex$$ 故 $$\bex R_{{\bf K}+{\bf M}}\subset R_{{\bf K}}+R_{{\bf M}},\quad \dim R_{{\bf K}+{\bf M}} \leq \dim R_{{\bf K}} +\dim R_{{\bf M}} <\infty. \eex$$ (ii) 设 ${\bf G}:X\to U$, ${\bf M}: U\to W$, 而 $$\bex R_{{\bf G}}=\span\sed{u_1,\cdots,u_n}, \eex$$ 则对 $\forall\ x\in X$, $$\bex {\bf M}{\bf G}(x)\in {\bf M} R_{{\bf G}}=\span\sed{{\bf M} u_1,\cdots,{\bf M} u_n}. \eex$$ 另外, $$\bex R_{{\bf G}{\bf N}}\subset R_{{\bf G}}. \eex$$

5. 证明定理 1 后面描述的右移位和左移位在所有序列构成的空间上互为伪逆.

证明: $$\beex \bea {\bf L}{\bf R}&={\bf I}_X,\\ {\bf R}{\bf L}(x)&=(0,a_2,a_3,\cdots)\\ &=(a_1,a_2,a_3,\cdots)-a_1(1,0,\cdots)\\ &={\bf I}_X(x)+{\bf G}(x), \eea \eeex$$ 其中 $\dim R_{{\bf G}}=1$, 而 ${\bf G}$ 退化.

6. 证明定理 6.

证明: (i) 设 $$\bex {\bf L}{\bf M}={\bf I}_X+{\bf G}_3,\quad {\bf M}{\bf L}={\bf I}_U+{\bf G}_4, \eex$$ 则 $$\beex \bea ({\bf L}+{\bf G}_1)({\bf M}+{\bf G}_2) &={\bf L}{\bf M}+{\bf L}{\bf G}_2+{\bf G}_1{\bf M}+{\bf G}_1{\bf G}_2\\ &={\bf I}_X+({\bf G}_3+{\bf L}{\bf G}_2+{\bf G}_1{\bf M}+{\bf G}_1{\bf G}_2),\\ ({\bf M}+{\bf G}_2)({\bf L}+{\bf G}_1)&=\cdots. \eea \eeex$$ 由定理 5 即知结论成立.

(ii) 设 $$\beex \bea {\bf L}{\bf M}={\bf I}_X+{\bf G}_1,\quad& {\bf M}{\bf L}={\bf I}_U+{\bf G}_2,\\ {\bf B}{\bf A}={\bf I}_U+{\bf G}_3,\quad& {\bf A}{\bf B}={\bf I}_W+{\bf G}_4, \eea \eeex$$ 则 $$\beex \bea ({\bf L}{\bf B})({\bf A}{\bf M})&={\bf L}({\bf B}{\bf A}){\bf M}\\ &={\bf L}({\bf I}_U+{\bf G}_3){\bf M}\\ &={\bf L}{\bf M}+{\bf L}{\bf G}_3{\bf M}\\ &={\bf I}_X+({\bf G}_1+{\bf L}{\bf G}_3{\bf M}),\\ ({\bf A}{\bf M})({\bf L}{\bf B})&=\cdots. \eea \eeex$$

7. 证明 ${\bf P}$ 是线性映射.

证明: 设 $$\bex x_1=n_1+y_1,\quad x_2=n_2+y_2, \eex$$ 则 $$\bex x_1+x_2=(n_1+n_2)+(y_1+y_2)\ni N+Y, \eex$$ 由唯一性, ${\bf P}(x_1+x_2)=n_1+n_2={\bf P} x_1+{\bf P} x_2$. 同样, ${\bf P}(kx_1)=k {\bf P} x_1.$

8. 证明当 $N$ 的余维数有限时, $\dim Y=\codim N$.

证明: 构造 $$\bex {\bf M}:\quad Y\ni y\mapsto [y]\ni X/N. \eex$$ 则 (i) 由 $$\beex \bea \sez{y}=0&\ra y\in N\\ &\ra y\in N\cap Y=\sed{0}\\ &\ra y=0 \eea \eeex$$ 知 ${\bf M}$ 是单射.

(ii) 对 $\forall\ x\in X$, $x=n+y\in N\oplus Y$, 而 $$\bex [x]=[y]={\bf M} y, \eex$$ 而 ${\bf M}$ 是满射. 故 $Y$ 与 $X/N$ 线性同构, 维数相同 (证明中貌似木有用到 $\codim N<\infty$ 诶).

9. 验证 (22) 是一个正合序列.

证明: (i) ${\bf I}_0 x=0\ra x=0$.

(ii) $$\beex \bea {\bf M}{\bf I}_0x=0&={\bf M} x=0\quad\sex{x\in N_{\bf M}},\\ {\bf M} x=0&\ra x\in N_{{\bf M}}. \eea \eeex$$ (iii) $$\beex \bea {\bf Q}{\bf M} x&=0\quad\sex{x\in N_{{\bf L}{\bf M}}},\\ {\bf Q} u=0&\ra {\bf L} u=0,\quad u=R_{{\bf M}}\quad\sex{u\in N_{{\bf L}}}\\ &\ra {\bf L} u=0,\quad u={\bf M} x\\ &\ra x\in N_{{\bf L}{\bf M}}. \eea \eeex$$ (iv) $$\beex \bea {\bf L}{\bf Q} u&=0\quad\sex{u\in N_{{\bf L}}},\\ {\bf L}[u]=0&\ra {\bf L} u\in R_{{\bf L}{\bf M}}\quad\sex{u\in U}\\ &\ra {\bf L} u={\bf L}{\bf M} x\\ &\ra u-{\bf M} x\in N_{{\bf L}}\\ &\ra [u]\in {\bf M}(N_{{\bf L}}). \eea \eeex$$ (v) $$\beex \bea {\bf E}{\bf L}[u]&={\bf E} [{\bf L} u]=0\quad\sex{u\in U},\\ {\bf E}[w]=0&\ra w\in R_{\bf L}\quad\sex{w\in W}\\ &\ra w={\bf L} u=L[u]. \eea \eeex$$ (vi) $[w]_{R_{{\bf L}}}={\bf E} [w]_{R_{{\bf L}{\bf M}}}$.

错误指出:

Page 10, 定理 4 (ii), $T$ 应为 ${\bf T}$.

Page 10, 定理 5 (ii), ${\bf N}{\bf G}$ 应为 ${\bf G}{\bf N}$.

Page 11, (14) 上一行, $Z/N_{\bf G}$ 应为 $X/N_{\bf G}$.

Page 12, 习题 8 以下, 定义 以上 (定理 7 的充分性的证明) 的 $N$ 均应改为 $N_{\bf M}$.

Page 13, (21), $0\leq j<n-1$ 应为 $0<j<n-1$.