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统计0到n之间1的个数[数学,动态规划dp](经典，详解)
问题描述
给定一个十进制整数N,求出从1到N的所有整数中出现”1”的个数。
例如：N=2时 1,2出现了1个 “1” 。
N=12时 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。出现了5个“1”。
方法一 暴力求解
最直接的方法就是从1开始遍历到N，将其中每一个数中含有“1”的个数加起来，就得到了问题的解。
下面给出代码：
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 int main() 5 { 6 int n,x,t; 7 while(scanf("%d",&n)!=EOF) 8 { 9 int ans=0;10 for(int i=1;i<=n;i++)11 {12 t=i;13 while(t)14 {15 if(t%10==1)16 ++ans;17 t=t/10;18 }19 }20 printf("%d\n",ans);21 }22 return 0;23 }
该算法的时间复杂度为O(N*lgN)
(注：此方法对较大的数据有可能会TL)
解法二
1位数的情况：
在解法二中已经分析过，大于等于1的时候，有1个，小于1就没有。
2位数的情况：
N=13,个位数出现的1的次数为2，分别为1和11，十位数出现1的次数为4，分别为10,11,12,13，所以f(N) = 2+4。
N=23,个位数出现的1的次数为3，分别为1，11，21，十位数出现1的次数为10，分别为10~19，f(N)=3+10。
由此我们发现，个位数出现1的次数不仅和个位数有关，和十位数也有关，如果个位数大于等于1，则个位数出现1的次数为十位数的数字加1；如果个位数为0，个位数出现1的次数等于十位数数字。而十位数上出现1的次数也不仅和十位数相关，也和个位数相关：如果十位数字等于1，则十位数上出现1的次数为个位数的数字加1，假如十位数大于1，则十位数上出现1的次数为10。
3位数的情况:
N=123
个位出现1的个数为13:1,11,21，…，91,101,111,121
十位出现1的个数为20:10~19,110~119
百位出现1的个数为24:100~123
我们可以继续分析4位数，5位数，推导出下面一般情况：
假设N，我们要计算百位上出现1的次数，将由三部分决定：百位上的数字，百位以上的数字，百位一下的数字。
如果百位上的数字为0，则百位上出现1的次数仅由更高位决定，比如12013，百位出现1的情况为100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200个。等于更高位数字乘以当前位数，即12 * 100。
如果百位上的数字大于1，则百位上出现1的次数仅由更高位决定，比如12213，百位出现1的情况为100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，12100~12199共1300个。等于更高位数字加1乘以当前位数，即（12 + 1）*100。
如果百位上的数字为1，则百位上出现1的次数不仅受更高位影响，还受低位影响。例如12113，受高位影响出现1的情况：100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200个，但它还受低位影响，出现1的情况是12100~12113，共114个，等于低位数字113+1。
综合以上分析，写出如下代码：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<map> 4 #include<cstring> 5 #include<string> 6 #include<algorithm> 7 #include<queue> 8 #include<vector> 9 #include<stack>10 #include<cstdlib>11 #include<cctype>12 #include<cmath>13 #define LL long long14 using namespace std;15 int CountOne(int n) {16 int cnt = 0;17 int i = 1;18 int current = 0, after = 0, before = 0;19 while ((n / i) != 0) {20 current = (n / i) % 10;21 before = n / (i * 10);22 after = n - (n / i) * i;23 if (current > 1)24 cnt = cnt + (before + 1) * i;25 else if (current == 0)26 cnt = cnt + before * i;27 else if (current == 1)28 cnt = cnt + before * i + after + 1;29 i = i * 10;30 }31 return cnt;32 }33 int main()34 {35 int n;36 while(cin>>n){37 int res=CountOne(n);38 cout<<res<<endl;39 }40 return 0;41 }
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