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自然数e这家伙怎么蹦跶出来的?

自然数e这家伙怎么蹦跶出来的?



之前看过一篇中文介绍自然数e的blog,引起了我的兴趣


            原文是阮一峰大牛(我觉得必须非常有必要尊敬的称,大牛)嚼烂了吐出来的哈哈,不过我觉得还是自己去看原文比较好

           感觉很总要的还是原文,“读后感”这种东西还是有点别扭



下面是link,直接戳就是了。文章的作者有视频的,某个比较特殊的网站,想办法找到吧。我觉得还是不方便说。。呵呵。。。。我怕查水表。我是好人

An Intuitive Guide To Exponential Functions & e



接下来,写我的“读后感”。


这年头,太多的家伙涉及e——这个很特殊又常见的自然数。欧拉公式,傅立叶变换,laplace变换,某些特殊的表达式求极限etc


然后,这个数怎么来的呢?

为什么会特殊把这个数标记为e呢?


一句话,这家伙怎么来的?


先说说 π 3.14。。。这家伙是圆的周长和直径的比值,对于任何圆形都适用。

我们于是定义了pi这个数,用π这个符号来作为标记。

Pi is the ratio between circumference and diameter shared by all circles


那么e呢?e也是一个标记。

e is the base rate of growth shared by all continually growing processes.

e是最基础的增长速率,适用于所有的连续增长模型。


            So e is not an obscure, seemingly random number.e represents the idea that all continually growing systems are scaled versions of a common rate.


e这个数也并不晦涩。它表示一个想法,所有的增长系统都可以用这个e来刻画(。。。如果没看懂就跳过,回过头看这句话就会明白的)


连续的系统一开始理解可能有困难,我们采用先离散化,然后无穷逼近连续的思想来分析e的来源。


比方说随着时间倍增增长模型(2^n)

0时刻初始元素个数只有1个,时刻1的时候,经过倍增,变成2,同理,时刻2变成4,时刻3变成8

figure 1


当前时刻的元素总个数 = 2^n     (1)



把上面的公式稍稍变形一下

当前时刻的元素总个数 = (1+100%)^n     (2)



其实就相当于当前的增长率是100%,注意这里增长率这个概念!100%的增长率,n是增长的周期次数




我们再看另外一个问题,


money的增长问题

          假如你有一块钱放在银行里面,增长率是100%(世界上没有银行这么蠢100%。。。呵呵。。仅仅关注问题的解释就好。。。)

你得到的钱 = 本金*(1+100%)^n

一开始你有1块钱,于是1*(1+100%)^0 = 1,你没放银行里面去的时候,1块没变多。当你存入这家银行,并且经过了1年之后,1*(1+100%)^1 =2, 哇塞!变2元了!


figure 2




你的钱貌似在银行里在这一年就像是线性增长一样

换句话说,在这一年里,你的钱= 1+1* [ (时间)/12个月] 是这样增长的,第一个月是1+1*1/12 ,第二个月是1+1*2/12 ,第六个月是1+1*6/12 == 1 + 0.5  == 1.5

第12个月是1+1*12/12 == 1+1 == 2


figure 3



但试想一下 ,“钱是可以赚钱的”, 如果你在第六个月的时候可以获得1.5元,那么多出来的0.5元也是能帮你挣钱的!

你的挣钱

第7个月就应该是 1+1*(7/12) + 0.5*[(7-6)/12]

第12个月就应该是 1+1*(12/12)+0.5*(12-6)/12 == 1+1+0.25 !!!


figure 4



这就相当于

你的钱 = 本金*(1+50%)*(1+50%)  = 1*(1+50%)*(1+50%) = 1*(1+100%  / 2)^2


细心的人总觉得有点奇怪,这里为什么就是50%呢?这里其实是离散对于连续的一次逼近。

难道6月之前就不会有多出来的钱可以挣钱?这里仅仅是选取的6月这个比较特殊的点而已,它是等分这一年的。

比方说我选取4月(这样更加逼近1月份,并且不是等分一年)

按照线性增长的,四月可以得到的钱 = 1+1*(4/12)

于是12月可以得到的钱 = 1+ 1*(12/12)+1*(4/12)*[(12-4)]/12

这样你就意识到,咦,之前的钱也是可以挣钱的!



等分有一个很好的性质,就是这里的增长率和增长次数是有关系的

你拿到的钱 = 本金*(1+100%/等分的次数n)^n

可以很好的把等分的次数,增长的次数,以及增长率联系起来!

(1+1/n)^n


是时候把时间段分的更加细了!






这里采用了3等分的方式

于是有(1+1/3)^3


有意思了,这样 1+一个大于0 的数,然后用幂函数作用.得到的结果是随着n增大!

n          (1 + 1/n)^n
------------------
1          2
2          2.25
3          2.37
5          2.488
10         2.5937
100        2.7048
1,000      2.7169
10,000     2.71814
100,000    2.718268
1,000,000  2.7182804


更有意思了!随着n的增大 (1+1/n)^n,但是增大到2.7182左右的时候,随着n继续增大,(1+1/n)^n都不再有明显的增长


这里我们发现了一个很“神奇”的现象

当由离散趋向于连续的过程中(n越来越大,等分的程度越来越高,越来越逼近连续)

可以发现,对于连续增长模型,它的增长极限是一个常数,于是,我们找到了这个数,于是找个符号标记这家伙!

它就是e!!!

In geeky math terms,

e is defined to be that rate of growth if we continually compound 100%

return on smaller and smaller time periods



But what does it all mean?

         The number e (2.718…) is the maximum possible result when compounding 100% growth for one time period. Sure, you started out expecting to grow from 1 to 2 (that’s a 100% increase, right?). But with each tiny step forward you create a little dividend that starts growing on its own. When all is said and done, you end up with e (2.718…) at the end of 1 time period, not 2. e is the maximum, what happens when we compound 100% as much as possible.


         e是当100%增长率的单位周期增长模型连续增长的时候,最大的可能增长结果。由1增长到2,这里是离散的100%增长。但是你把时间划分的更加细,由离散逼近于连续的时候,你将会发现,增长结果不会是无穷大或者某个不确定的值,而是一个确定的值,2.718....这就是e,e是当100%增长率的单位周期增长模型是连续增长的时候,最大的可能增长结果。


          So, if we start with $1.00 and compound continuously at 100% return we get 1e. If we start with $2.00, we get 2e. If we start with $11.79, we get 11.79e.


大笑1块钱在100%增长率的银行里面也不会经过一年就会得到无穷money。。。


           e is like a speed limit (like c, the speed of light) saying how fast you can possibly grow using a continuous process. You might not always reach the speed limit, but it’s a reference point: you can write every rate of growth in terms of this universal constant.


e就像是一个极限速度,就像光速c一样!e表明对于连续增长模型中,最大的可能输出

上帝啊!这个发现和测出光速一样伟大!

这个常数有啥用? 这个常数是一个极限,光速是c,100m/s 可以表示为 [100/(3*10^8)] *c ! 这里[100/(3*10^8)]是一个常数。那么可以说明一个问题,任意的速度都可以用c来表示。对于增长速率呢?同样的,所有增长速率带来的输出都可以用这个e乘以一个独一无二的常数表示!


           (Aside: Be careful about separating theincrease from the finalresult. 1 becoming e (2.718…) is anincrease (growth rate) of 171.8%. e, by itself, is the finalresult you observe after all growth is taken into account (original + increase)).




对于不同的增长率(不同于100%)都可以用e来表示!

之前我们是(1+100%/n)^n的模型

如果不是100%呢?

比方说50%(随便一个增长率就行)

(1+50% / n)^n == (1+100%/2*n)^n == sqrt((1+100%/2n)^2n)

对于任意增长率 x > 1  == 1/x   <1

(1+(1/x) /n)^n == (1+(1/xn))^n == {(1+(1/xn))^xn 开x次方}




不同的增长率都可以用e来表示






怎样来刻画不同增长速率带来的增长结果(e^x)呢?

如果增长率是50%, 我们需要把e ^1变换成 e^0.5

这里是一个周期的增长结果

如果把50%增长率由一个周期作用到4个周期呢?

这是一个周期的(1+1/2n)^n

四个周期的话就是连续增长4周期,于是 [ (1+1/2n)^n ] ^4 == (1+(1/2n)^4n) == (1+(1/2n)^2n)^2 == e^2 == (e^0.5)^4


x意味着两件事情:

第一和增长率有关系

第二和增长周期次数有关系

有,e^x  == e^(增长率*增长周期次数)  [ 例如,(e^0.5)^4]


the variable x is a combination of rate and time.

x = rate * time


So, our general formula becomes:


growth = e^x = e^(r*t)


If we have a return of r for t time periods, our net compound growth is e^rt. This even works for negative and fractional returns, by the way.





简直是爽啊!

迷迷糊糊和e打交道这么久,今天才彻底明白e的特性