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软考考点---平衡二叉树
浅谈平衡二叉树
平衡二叉树(Balanced binarytree)是由阿德尔森-维尔斯和兰迪斯(Adelson-Velskii and Landis)于1962年首先提出的，所以又称为AVL树。
一、平衡二叉树的基本介绍
定义：平衡二叉树或为空树,或为例如以下性质的二叉排序树:
（1）左右子树深度之差的绝对值不超过1;
（2）左右子树仍然为平衡二叉树.
平衡因子BF=左子树深度－右子树深度.
平衡二叉树每一个结点的平衡因子仅仅能是1，0，-1。
若其绝对值超过1，则该二叉排序树就是不平衡的。
查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O（log n）。添加和删除可能须要通过一次或多次树旋转来又一次平衡这个树。
如图所看到的为平衡树和非平衡树示意图：
（图一左为非平衡二叉树，图一右图为平衡二叉树）
二、平衡二叉树算法思想
若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。
当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其它全部不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树。
失去平衡的最小子树是指以离插入结点近期，且平衡因子绝对值大于1的结点作为根的子树。如果用A表示失去平衡的最小子树的根结点，则调整该子树的操作可归纳为下列四种情况。
（1）LL型平衡旋转法（右转）
因为在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行一次顺时针旋转操作。即将A的左孩子B向右上旋转取代A作为根结点，A向右下旋转成为B的右子树的根结点。而原来B的右子树则变成A的左子树。
图二（1）
图二（2）
（2）RR型平衡旋转法（左转）
因为在A的右孩子C的右子树上插入结点F，使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。故需进行一次逆时针旋转操作。即将A的右孩子C向左上旋转取代A作为根结点。A向左下旋转成为C的左子树的根结点。而原来C的左子树则变成A的右子树。
图三（1）
图三（2）
（3）LR型平衡旋转法（先左后右）
因为在A的左孩子B的右子数上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行两次旋转操作（先逆时针，后顺时针）。
即先将A结点的左孩子B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置，然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。即先使之成为LL型，再按LL型处理。
图四（1）
如图四中所看到的。即先将圆圈部分先调整为平衡树，然后将其以根结点接到A的左子树上。此时成为LL型，再按LL型处理成平衡型。
图四（2）
（4）RL型平衡旋转法（先右后左）
由的右孩子C的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。故需进行两次旋转操作（先顺时针，后逆时针），即先将A结点的右孩子C的左子树的根结点D向右上旋转提升到C结点的位置。然后再把该D结点向左上旋转提升到A结点的位置。
即先使之成为RR型。再按RR型处理。
图五（1）
如图五中所看到的，即先将圆圈部分先调整为平衡树。然后将其以根结点接到A的左子树上，此时成为RR型。再按RR型处理成平衡型。
图五（2）
（以上的四种节点包括了全部插入时导致不平衡的情况，图中所看到的不过平衡树插入后产生的最小不平衡子树）
平衡化靠的是旋转。
參与旋转的是3个节点（当中一个可能是外部节点NULL），旋转就是把这3个节点转个位置。注意的是，左旋的时候p->right一定不为空，右旋的时候p->left一定不为空，这是显而易见的。
假设从空树開始建立，并时刻保持平衡，那么不平衡仅仅会发生在插入删除操作上，而不平衡的标志就是出现bf == 2或者bf == -2的节点。8
例：在平衡二叉树中插入一个结点后造成了不平衡。设最低的不平衡结点为A，而且A的左孩子的平衡因子为-1。右孩子的平衡因子为0，则使其平衡的调整方法为( )
A.LL型 B.LR型
C.RL型 D.RR型
解：由图四（1）可知答案选B
（个人的一点理解，如有错误还请读者指教）
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