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软考考点---平衡二叉树


浅谈平衡二叉树

 

        平衡二叉树(Balanced binarytree)是由阿德尔森-维尔斯和兰迪斯(Adelson-Velskii and Landis)于1962年首先提出的,所以又称为AVL树。

 

        一、平衡二叉树的基本介绍

 

        定义:平衡二叉树或为空树,或为例如以下性质的二叉排序树:

        (1)左右子树深度之差的绝对值不超过1;

        (2)左右子树仍然为平衡二叉树.

        平衡因子BF=左子树深度-右子树深度.

        平衡二叉树每一个结点的平衡因子仅仅能是1,0,-1。

若其绝对值超过1,则该二叉排序树就是不平衡的。

       查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(log n)。添加和删除可能须要通过一次或多次树旋转来又一次平衡这个树。

       如图所看到的为平衡树和非平衡树示意图:


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(图一左为非平衡二叉树,图一右图为平衡二叉树)

 

       二、平衡二叉树算法思想

 

       若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系,使之成为新的平衡子树。

当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后,原有其它全部不平衡子树无需调整,整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树。

       失去平衡的最小子树是指以离插入结点近期,且平衡因子绝对值大于1的结点作为根的子树。如果用A表示失去平衡的最小子树的根结点,则调整该子树的操作可归纳为下列四种情况。

 

       (1)LL型平衡旋转法(右转)

 

       因为在A的左孩子B的左子树上插入结点F,使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行一次顺时针旋转操作。即将A的左孩子B向右上旋转取代A作为根结点,A向右下旋转成为B的右子树的根结点。而原来B的右子树则变成A的左子树。

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图二(1

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图二(2

 

       (2)RR型平衡旋转法(左转)

 

       因为在A的右孩子C的右子树上插入结点F,使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。故需进行一次逆时针旋转操作。即将A的右孩子C向左上旋转取代A作为根结点。A向左下旋转成为C的左子树的根结点。而原来C的左子树则变成A的右子树。

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图三(1

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图三(2

 

       (3)LR型平衡旋转法(先左后右)

 

       因为在A的左孩子B的右子数上插入结点F,使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行两次旋转操作(先逆时针,后顺时针)

即先将A结点的左孩子B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置,然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。即先使之成为LL型,再按LL型处理。

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图四(1

       如图四中所看到的。即先将圆圈部分先调整为平衡树,然后将其以根结点接到A的左子树上。此时成为LL型,再按LL型处理成平衡型。

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图四(2

 

       (4)RL型平衡旋转法(先右后左)

 

          由的右孩子C的左子树上插入结点F,使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。故需进行两次旋转操作(先顺时针,后逆时针),即先将A结点的右孩子C的左子树的根结点D向右上旋转提升到C结点的位置。然后再把该D结点向左上旋转提升到A结点的位置。

即先使之成为RR型。再按RR型处理。

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图五(1

       如图五中所看到的,即先将圆圈部分先调整为平衡树。然后将其以根结点接到A的左子树上,此时成为RR型。再按RR型处理成平衡型。

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图五(2

(以上的四种节点包括了全部插入时导致不平衡的情况,图中所看到的不过平衡树插入后产生的最小不平衡子树)

 

       平衡化靠的是旋转。

參与旋转的是3个节点(当中一个可能是外部节点NULL),旋转就是把这3个节点转个位置。注意的是,左旋的时候p->right一定不为空,右旋的时候p->left一定不为空,这是显而易见的。

       假设从空树開始建立,并时刻保持平衡,那么不平衡仅仅会发生在插入删除操作上,而不平衡的标志就是出现bf == 2或者bf == -2的节点。8

 

       例:在平衡二叉树中插入一个结点后造成了不平衡。设最低的不平衡结点为A,而且A的左孩子的平衡因子为-1。右孩子的平衡因子为0,则使其平衡的调整方法为(      )

       A.LL型                                                                                                       B.LR型

       C.RL型                                                                                                     D.RR型

 

解:由图四(1)可知答案选B

(个人的一点理解,如有错误还请读者指教)

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