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前言

最近要毕业了，有半年没做比赛了．
这次参加百度之星娱乐一下．
现在写一下 Chess 这道题的的解题报告．

正文

题意

题意很简单，告诉你一个矩阵，以及一个起始坐标．

问走k步有多少个不同的路线．

一个路线可以记为上下左右，则k步有k个上下左右，比如　"上上左左下下"　是一个路线．

分析

矩阵的大小是1000*1000, k ＝　１000, 如果使用搜索肯定不行．

起始很容易往矩阵幂这个方向上想，但是状态太多了，　1000*1000 个状态，行不通．

当时我也考虑分行和列来做，但是就差那么一步就不向下想了．

网上找了一个解题报告，这个解题报告的分析很简单，只有一句话：可以很容易发现行和列是独立的。

好吧！看到这句话我瞬间会做这道题了．

接下来我就具体写写推算公式给大家．

如果是暴力的话，答案应该是

ans = sum( Count(i, j, k) );

其中　Count(i, j, k) 代表　从(x, y) 走　k 步到　坐标(i, j) 的路径个数．

对于　Count(i, j, k) 我们怎么求出来呢？

假设从(x, y) 走　k 步到　坐标(i, j)时, 我们有　t 步是上下移动的，　k - t 步是左右移动的，也就是　k 步中有　t 步是上下移动的，及　C(k, t) 吧．

于是我们可以得带这个公式了．

Count(i, j, k) = sum(C(k, t) * Count(i, t) * Count(j, k- t) )

其中　C(k, t) 是组合数

Count(i, t) 代表从数轴x 只上下移动走　t 步到达　数轴　i 的路线数，当然，由于是上下，有个上界n,最大行数.

对应这　Count(j, k-t ) 代表从数轴　y 只左右移动走　k - t 步　到达　j 的路线数，　上界是　m, 最大列数．

我们把这个公式带入暴力公式可以得到

ans = sum( C(k, t) * Count(i, t) * Count(j, k- t)  )

其中　0<=t<=k, 1<=i<=n, 1<=j<=m.

然后我们把　i 展开可以得到

ans = sum(   
C(k, t) * Count(1, t) * Count(j, k- t) 
+C(k, t) * Count(2, t) * Count(j, k- t) 
+ ...
+C(k, t) * Count(n, t) * Count(j, k- t) 
)

再提取公因式，可以得到

ans = sum( C(k, t) * Count(j, k - t) * sum(Count(i, t)) )

同理，可以把 j 展开

ans = sum( 
C(k, t) * Count(1, k - t) * sum(Count(i, t))
＋C(k, t) * Count(2, k - t) * sum(Count(i, t))
＋．．．
＋C(k, t) * Count(m, k - t) * sum(Count(i, t))
 )

这个也可以提取公因式

ans = sum(C(k, t) * sum( Count(j, k-t ) ) * sum( Count( i, t ) ))

我们可以看到，对于　C(k, t) 是组合数，可以预处理得到．

对于　Count(i, t) 和　Count(j, k-t ) 我们都可以使用　O(n^2) 的预处理得到．

然后我们再使用O(n) 的预处理可以得到　sum( Count(j, k-t) ) 和　sum( Count(i, t) ).

最后我们使用　O( k ) 的复杂度得到它们的乘积即可．

代码

/*************************************************************************
  > File Name: 2.2.cpp
  > Author: tiankonguse
  > Mail: i@tiankonguse.com
  > Created Time: Mon 26 May 2014 11:31:15 AM CST
***********************************************************************/
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<stdarg.h>
using namespace std;
#ifdef __int64
typedef __int64 LL;
#else
typedef long long LL;
#endif
const int N = 1111;
int map[4]= {-2,-1,1,2};
LL C[N][N];
LL mod = 9999991;
LL str[2][N][N], sum[2][N];

void getC() {
	memset(C,0,sizeof(C));
    C[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i < N; i++) {
        C[i][0] = C[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; j++) {
            C[i][j] =( C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % mod;
        }
    }
}

void DP(LL str[N][N], LL sum[N], int x, int n, int k) {
    str[0][x] = 1;
    sum[0] = 1;
    for(int t=1; t<=k; t++) {
        for(int i=2; i<=n; i++) {
            for(int kk=0; kk<4; kk++) {
                str[t][i] = (str[t][i] + str[t-1][i+map[kk]]) % mod;
            }
            sum[t] = (sum[t] + str[t][i]) % mod;
        }
    }
}

LL get(int k, int i) {
    return ((C[k][i] * sum[0][i] % mod) * sum[1][k-i] % mod);
}

int main() {
    getC();
    int t,n,m,k,x,y;
    LL ans;
    scanf("%d",&t);
    for(int tt=1; tt<=t; tt++) {
        scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&k,&x,&y);
        n++,m++,x++,y++;
		memset(str,0,sizeof(str));
		memset(sum,0,sizeof(sum));
        DP(str[0], sum[0], x, n, k);
        DP(str[1], sum[1], y, m, k);

        ans = 0;
        for(int i = 0; i <= k; i++) {
            ans = (ans +   get(k, i))%mod;
        }
        printf("Case #%d:\n%lld\n",tt,ans);
    }

    return 0;
}

参考

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4832

http://www.cnblogs.com/kuangbin/p/3751404.html