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前言

最近要毕业了，有半年没做比赛了．
这次参加百度之星第二轮娱乐一下．
现在写一下 JZP Set 这道题的的解题报告．

正文

题意

题意是：给你n个数(1到n)，给你一个规则，问用这个规则可以得到多少个合法的集合．

具体规则是：一个合法集合里任意挑两个数，如果这两个数之和是偶数，这个偶数除以２得到的数也要在这个合法集合里．

比如：　3 和９　在集合里，３＋９是偶数，所以　(３＋９)／２　＝　６　也要在这个集合里．然后　{３，６，９}就是一个合法的集合．

起初我理解错题意了，以为是任意的两个数字之和除以２．比如　(3 + 6)/2 ＝　４, 我以为4也要在集合里．

于是很快得到一个　(n+1)*n/2 的公式．

后来学弟告诉我正确的题意．

分析

这个题的样例有10^5个，每个样例最大是10^7．

错误题意

首先来看看我理解错误题意时，是怎么做的．

假设　F(n) 是　n 的答案的话，　则　F(n + 1) = F(n) + f(n+1).

f(n+1)里面肯定有　n+1, 我假设f(n+1) 这些集合的任一个集合 S 里的最小值是　a, 则　(a+n+1)/2 肯定在　S 里面，然后这样递归下去发现　a到n+1的所有数字都必须在　S 里面．

于是　f(n+1) 就是　　n+ 1 了．

于是最终方程就是　　F(n+1) = F(n) + n+ 1.

只可惜这是错误的题意的做法．

正确题意

学弟告诉我正确的题意，还是可以很快写出方程来

F(n+1) = F(n) + f(n + 1).

其中f(n+1) 是含有　n+ 1的合法的集合．

奇数偶数合法<

首先对于我上面找到的那些肯定是合法集合的一部分，只是我遗漏了一些合法集合．

遗漏的肯定是非连续的了．

然后很快可以想到　一个奇数和一个偶数构成的集合都是合法集合．

于是　f(n + 1) 就又加上含有一奇一偶的合法集合的数量了，只是提交后WA了．

等差为奇数的组合

然后学弟随手写了一个集合　{3, 6, 9 } 发现也是合法集合．

然后我无意见把１２添加进去后发现还是合法集合．

于是我们得出结论：等差为奇数的数列都是合法集合，对于连续的那个只不过是等差为１罢了．

于是我们假设　i/x 的个数为　num(i/x),

于是有

则最终答案是　

C( num (n / 1) , 2) + C( num (n / 3) , 2) + C( num (n / 5) , 2) + ...

也就是等差位　x 的数列里，我们随便挑一段都是合法集合．

只是到这一步我们发现这样做还是超时．

递推的等差数列

由于F(n+1) 与　F(n) 有很大的关系，所以我们尝试找找递推行不行．

还是这个公式

F(n) = F(n-1) + f(n).

f(n) 代表含有　n 的合法集合．

然后这些集合需要全是等差数列．

于是写了这么一个公式

f(n－１) =

n/1 + n/3 + n/5 + ....

然后就没什么想法了．

今天看了这个解题报告才知道可以这样做．

发现我们如果写出　f(n－２) 那一项的公式

(n-1)/1 + (n-1)/3 + (n-1)/5 + ...

这两个公式大部分项是相等的，只有个别的几个不相等．

自己举了几个例子发现　n 整除　下面的项时，这个除式会多一个．

比如 n = 12
则　12/3 = 4, 11/3 = 3.

这样这个f（n）函数就可以转化为

f( n ) = f( n - 1) + Count( n　－１ ).

其中　Count( n　 ) 代表　n 的奇数约数个数．

然后小舟学长的模板上刚好有求关于小于　n 的所有数的约数的个数．其中有　O( n*log(n) ) 的模板，也有　O( n ) 的模板，

由于　n*log(n)　的模板比较简单，也可以过这道题，于是我就是用　n*log(n) 的模板了．

代码

/*************************************************************************
  > File Name: 4.2.cpp
  > Author: tiankonguse
  > Mail: i@tiankonguse.com
  > Created Time: Mon 26 May 2014 01:06:18 PM CST
***********************************************************************/
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<string>
#include<queue>
#include<map>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<stdarg.h>
using namespace std;
#ifdef __int64
typedef __int64 LL;
#else
typedef long long LL;
#endif
const int N = 10000010;
LL nod[N];
LL count[N];
LL ans[N];

void __sieve_nod() {
	memset(nod, 0,sizeof(nod));
    for (int i = 1; i < N; i+=2) {
        for (int j = i; j < N; j += i) {
            ++nod[j];
        }
    }
}

void init(){
	ans[0] = 1;
	ans[1] = 2;
	LL count = 1;
	for(int i=2;i<N;i++){
		count += nod[i-1];
		ans[i] = ans[i-1] + count;
	}
}


int main() {
	__sieve_nod();
	init();
    int t,n;
    scanf("%d",&t);
    for(int i=1; i<=t; i++) {
        scanf("%d",&n);
        printf("Case #%d:\n%I64d\n",i,ans[n]);
    }
    return 0;
}

参考

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4834

http://www.cnblogs.com/oyking/p/3751608.html