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2014百度之星初赛(第二场)——JZP Set

2024-07-06 14:17:46   220人阅读

2014百度之星初赛(第二场)——JZP Set

Problem Description
一个{1, ..., n}的子集S被称为JZP集，当且仅当对于任意S中的两个数x,y，若(x+y)/2为整数，那么(x+y)/2也属于S。
例如，n=3，S={1,3}不是JZP集，因为(1+3)/2=2不属于S。但是{1,2,3}的其他子集都属于S，所以n=3时有7个JZP集
给定n，求JZP集的个数。
 

Input
第一行为T，表示输入数据组数。
每组数据包含一行整数n。

限制条件
1<=T<=10^5
1<=n<=10^7
 

Output
对第i组数据，输出
Case #i:
然后输出JZP集的个数。
 

Sample Input
3
1
2
3
 

Sample Output
Case #1:
2
Case #2:
4
Case #3:
7
 

Source
2014年百度之星程序设计大赛 - 初赛（第二轮）
 
思路：
考虑到n高达10^7，而T也不小，选择递推预处理出所有答案。
观察(x+y)/2，对集合里的每个数都有这种规律的话，能想到类似的东西就是等差数列。
令ans[i]代表集合[1..i]的JZP子集（空集也算的），那么有ans[i] = ans[i - 1] + count(包含i的[1..i]的JZP子集)。
那么令p[i] = 包含i的[1..i]的JZP子集个数。考虑包含i的等差数列，可以发现等差一定为奇数（偶数都无法构成JZP集合，手动试一下就能发现了）。
例如：{2，4，6}不符合；{1，3，5}也不符合；
首先p[i]有只包含一个数的{i}。
之后对于元素个数大于等于2的，等差为1的子集个数为(i-1)/1，等差为3的子集个数为(i-1)/3……
然后对于元素个数大于等于3的.......
但是这还不能满足题目的要求。
考虑p[i]-1和p[i-1]-1的区别，对于(i-1)/1+(i-1)/3+(i-1)/5……和(i-2)/1+(i-2)/3+(i-2)/5……，对于分母为x的，(i-1) / x ＞ (i-2) / x当且仅当(i-1)是x的倍数；例如12/3=4;11/3=3;
可以得出p[i]比p[i-1]要大count(i-1的奇数约数)。
对于每个数的约数个数，可以在O(nlogn)的时间里预处理出来（参考素数的筛法）。
然后递推ans[i] = ans[i - 1] + p[i]，至此题目完美解决！
以上分析来自博文：http://www.cnblogs.com/oyking/p/3751608.html
AC代码：
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define LL long long 
#define MAX 10000005

using namespace std;

LL ans[MAX];
LL Count[MAX];

void GetOddNum()//计算奇约数的个数
{
	for(int i=1;i<=MAX;i+=2)
	{
		for(int j=i;j<=MAX;j+=i)
			Count[j]++;
	}
}

void Init()
{
	ans[0]=1;
	ans[1]=2;
	LL cnt=1;
	for(int i=2;i<MAX;i++)
	{
		cnt+=Count[i-1];
		ans[i]=ans[i-1]+cnt;
	}
}

int main(int argc,char *argv[])
{
	GetOddNum();
	Init();
	int t;
	int n;
	scanf("%d",&t);
	for(int i=1;i<=t;i++)
	{
		scanf("%d",&n);
		printf("Case #%d:\n%I64d\n",i,ans[n]);
	}
}


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