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XOR and Favorite Number（莫队算法+分块）

2024-08-14 16:00:49   223人阅读

E. XOR and Favorite Number
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Bob has a favorite number k and ai of length n. Now he asks you to answer m queries. Each query is given by a pair li and ri and asks you to count the number of pairs of integers i and j, such that l ≤ i ≤ j ≤ r and the xor of the numbers ai, ai + 1, ..., aj is equal to k.

Input

The first line of the input contains integers n, m and k (1 ≤ n, m ≤ 100 000, 0 ≤ k ≤ 1 000 000) — the length of the array, the number of queries and Bob‘s favorite number respectively.

The second line contains n integers ai (0 ≤ ai ≤ 1 000 000) — Bob‘s array.

Then m lines follow. The i-th line contains integers li and ri (1 ≤ li ≤ ri ≤ n) — the parameters of the i-th query.

Output

Print m lines, answer the queries in the order they appear in the input.

Examples
input
6 2 3
1 2 1 1 0 3
1 6
3 5
output
7
0
input
5 3 1
1 1 1 1 1
1 5
2 4
1 3
output
9
4
4
Note

In the first sample the suitable pairs of i and j for the first query are: (1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (3, 6), (5, 6), (6, 6). Not a single of these pairs is suitable for the second query.

In the second sample xor equals 1 for all subarrays of an odd length.

题意：给你一个大小为n的序列，然后给你一个数字k，再给出m组询问

 询问给出一个区间，问这个区间里面有多少对数异或结果为k。
 
做法：我们可以先预处理出所有异或结果的前缀结果,a[n]表示前n个数的异或结果。这样做有什么好处？我们知道x^x=0,所以如果我们要求区间[i,j]上的异或结果，可以用a[j]^a[i-1]得到。因此，我们可以从左端点开始，枚举每一个点，枚举的途中用flag[]数组记录前缀和出现的次数,比如前缀和2出现过一次，那flag[2]++;在查询的时候，a[i]^k就是我们要找的前缀和的大小，因为前面知道如果我们要求区间[i,j]上的异或结果，可以用a[j]^a[i-1]得到，所以我们要找之前有多少个前缀，和现在的前缀异或值为k，对应到flag数组去找a[i]^k的个数，并更新答案就行了。以上是异或处理部分。
接下来是莫队算法。莫队算法是一个暴力算法，用于解决区间问题。他的原理是假设我知道了[L,R]的值，我可以在o1的时间求出[L+/-1,R]和[L,R+/-1]的值，那么查询[L+/-k,R]和[L,R+/-k]的值需要k步。如果我们要查询多个区间的问题，其实就是一个最小曼哈顿生成树问题了（最少的边权和走完所有点），可以用最小曼哈顿生成树算法来处理莫队。不过其实还有更方便的算法，就是分块。我们可以根据区间左端点先进行分块，分为sqrt(n)块，块里面的元素按照右端点进行排序。这样排序后，考虑左端点，由于每个块只有sqrt(n)的大小，左端点移动最多也就sqrt(n)的复杂度，n个区间就n*sqrt(n)的复杂度。对于右端点，由于每个块的右端点是有序的，所以我们查询一个块上的值，最多是n(区间的最大值，这题是10*n),又有最多查询sqrt(n)块，复杂度也是n*sqrt(n)，总复杂度n*sqrt(n)。
 
具体代码如下：
#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <algorithm>#include <vector>#include <queue>#include <stack>#include <map>#include <set>#define X first#define Y second#define clr(u,v); memset(u,v,sizeof(u));using namespace std;typedef long long ll;typedef pair<int,int> pii;const int maxn=1<<20;const int INF=0x3f3f3f3f;ll pos[maxn];ll flag[maxn],ans[maxn];int a[maxn];struct node{    int l,r,id;}Q[maxn];bool cmp(node a,node b){    if (pos[a.l]==pos[b.l])    {        return a.r<b.r;    }    return pos[a.l]<pos[b.l];}int n,m,k;int L=1,R=0;ll Ans=0;void add(int x){    Ans+=flag[a[x]^k];    flag[a[x]]++;}void del(int x){    flag[a[x]]--;    Ans-=flag[a[x]^k];}int main(){    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);    int sz=sqrt(n);    for (int i=1;i<=n;i++)    {        scanf("%d",&a[i]);        a[i]^=a[i-1];        pos[i]=i/sz;    }    for (int i=1;i<=m;i++)    {        scanf("%d%d",&Q[i].l,&Q[i].r);        Q[i].id=i;    }    flag[0]=1;    sort(Q+1,Q+m+1,cmp);    for (int i=1;i<=m;i++)    {        while (L<Q[i].l)        {            del(L-1);            L++;        }        while (L>Q[i].l)        {            L--;            add(L-1);        }        while (R<Q[i].r)        {            R++;            add(R);        }        while (R>Q[i].r)        {            del(R);            R--;        }        ans[Q[i].id]=Ans;    }    for (int i=1;i<=m;i++)    printf("%I64d\n",ans[i]);    return 0;}

2016-09-25 03:31:38

 

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