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FIB数列

2024-07-29 18:35:26   225人阅读

斐波那契级数除以N会出现循环，此周期称为皮萨诺周期。

 下面给出证明

必然会出现循环
 这是基于下面事实：
 1． R(n+2)=F(n+2) mod P=(F(n+1)+F(n)) mod P=(F(n+1) mod p +F(n) modp) mod p
 2． 斐波那契数列的最大公约数定理：gcd(F(m),F(n))=F(gcd(m,n))
 最大公约数定理表明如果F(k)能被N整除，则F(ik)也能被N整除，这就表明了斐波那契数列所含因子的周
期性，下面列举：
 因子：2，3，4，5， 6，7，8， 9，10，11，12
 周期：3，4，6，5，12，8，6，12，15，10，12
 我们称所生成的序列为剩余序列，那么一旦出现某个F(k) 能被N整除（这需证明我的一个猜想：对于任意
素数P，F（P），F（P-1）和F（P+1）三个中定有一个能被P整除），以后F(ik)都能被N整除，亦即剩余
序列周期地出现0，
下一个剩余序列值为N-1种可能，总会重复，有两个相邻的重复该序列就一定重复，亦即具有周期性。
 这个周期叫做皮萨诺周期


而这个周期长度不会超过6P

当我们所要求的Fib数列项数特别大的时候，我们就可以用周期性来优化了

下面给个快速幂矩阵的FIB数列代码

const mol=10000007;type matrix=array[1..2,1..2] of int64;var    c,cc:matrix;    n:int64;function multiply(x,y:matrix):matrix; inline;var temp:matrix;begin    temp[1,1]:=(x[1,1]*y[1,1]+x[1,2]*y[2,1]) mod mol;    temp[1,2]:=(x[1,1]*y[1,2]+x[1,2]*y[2,2]) mod mol;    temp[2,1]:=(x[2,1]*y[1,1]+x[2,2]*y[2,1]) mod mol;    temp[2,2]:=(x[2,1]*y[1,2]+x[2,2]*y[2,2]) mod mol;    exit(temp);end;function getcc(n:int64):matrix; inline;var temp:matrix;    t:int64;begin    if n=1 then exit(c);    t:=n>>1;    temp:=getcc(t);    temp:=multiply(temp,temp);    if (n and 1)=1 then exit(multiply(temp,c))    else exit(temp);end;procedure init;begin    readln(n);    c[1,1]:=1;    c[1,2]:=1;    c[2,1]:=1;    c[2,2]:=0;    if n=1 then        begin            writeln(1);            halt;        end;    if n=2 then        begin            writeln(1);            halt;        end;    cc:=getcc(n-2);end;procedure work;begin    writeln(int64(cc[1,1]+cc[1,2]) mod mol);end;begin    init;    work;end.

 

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