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【BZOJ】 1041: [HAOI2008]圆上的整点
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${x^{2}+y^{2}=r^{2} }$
${\Rightarrow y^{2}=(r-x)(r+x)}$
令${d=gcd(r-x,r+x)}$
则${y^{2}=d^{2}*\frac{r+x}{d}*\frac{r-x}{d}}$
再令${A=\frac{r+x}{d}}$,${B=\frac{r-x}{d}}$
则${y^{2}=d^{2}*A*B}$
考虑${y^{2}}$是完全平方数，${d^{2}}$是完全平方数，又${gcd(A,B)=1}$那么${A,B}$都是完全平方数。
设${A=a^{2}}$,${B=b^{2}}$
${A+B=a^{2}+b^{2}}$
${\Rightarrow \frac{2*r}{d}=a^{2}+b^{2}}$
考虑枚举${\frac{2*r}{d}}$，这一步的复杂度是${O(\sqrt{r})}$的，然后再在${\left [ 1,\sqrt{2*\frac{r}{d}}/2 \right ]}$的范围内枚举${a}$，进而可以算出${A,b,B}$,然后判断${A,B}$是否互质，$B$是否为完全平方数，这样子就算出了第一象限的答案，然后将$ans*4+4$,算是统计了每一个象限的并且加上了坐标轴上的四个点。
1 #include<iostream> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstdio> 4 #include<cstdlib> 5 #include<cmath> 6 #include<cstring> 7 #include<queue> 8 #include<vector> 9 #include<map>10 using namespace std;11 #define llg long long12 #define maxn 10001013 #define yyj(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);14 llg ans,n;15 inline llg getint()16 {17 llg w=0,q=0; char c=getchar();18 while((c<‘0‘ || c>‘9‘) && c!=‘-‘) c=getchar();19 if (c==‘-‘) q=1, c=getchar(); while (c>=‘0‘ && c<=‘9‘) w=w*10+c-‘0‘, c=getchar();20 return q ? -w : w;21 }22 23 void calc(llg d)24 {25 for (llg a=1;a<=sqrt(d/2);a++)26 {27 llg A=a*a,B=d-A,b=sqrt(B);28 if (b*b==B && __gcd(A,B)==1 && A!=B) ans++;29 }30 }31 32 int main()33 {34 yyj("circle");35 cin>>n;36 for (llg i=1;i<=sqrt(n*2);i++)37 if ((2*n%i)==0)38 {39 calc(i);40 calc(2*n/i);41 }42 cout<<ans*4+4;43 return 0;44 }
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