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dp-完全背包

2024-11-28 12:35:02   201人阅读

 

问题描述 ： 已知一个容量为 V 的背包 和 N 件物品 ， 第 i 件物品的价值是 value[ i ] 体重为 weight[ i ]  。

条件 ： 每件物品有无限多个 ， 能放多少就放多少 。

问题 ： 在不超过背包容量的前提下 ， 问最多能获得的最大收益 。

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基本思路 : 直接扩展01背包

　　区别于 01背包 ， 完全背包中的物品可以放入0件 、 1件 、 2件 ... ， 所以就可以写这样的状态转移方程 。

dp[j] = max ( dp[j] , dp[j-k*weight[i]]+k*value[i] ) ;  k <= v / weight[i]

 　　

　　这样写的意思是 ， 同 01背包一样 ， 我遍历所有物品 ， 在每个物品下遍历所有体积 ，  完全背包只需要在加一点就是在每种物品的每个体积下，我在遍历所有可能该种物品可以放多少个 。

给出完整的代码 ：

　　

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std ;
#define Max(a,b) a>b?a:b

int weight[10] ;
int value[10] ;
int dp[100] ;

int main ( ) {
    int n , v ;

    cin >> n >> v ;
    for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
        cin >> weight[i] >> value[i] ;

    for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ ) {
        for ( int j = v ; j >= weight[i] ; j-- ) {
            for ( int k = 1 ; k <= v/weight[i] ; k++ ) {
                dp[j] = Max ( dp[j] , dp[j-k*weight[i]]+k*value[i] ) ;
            }
        }
    }

    cout <<dp[v] ;
    return 0 ;
}

 　　

代码优化 ：

　　完全背包有一种很简单有效的优化 ， 两件物品 重量 为 we[i] , we[j] ， 价值为va[i] , va[j] 。若we[i] < w[j] ，并且 va[i] > va[j] ， 则将物品 j 去掉 ， 不用考虑 。但我觉得这样做的话还是不太好 ， 虽然没在网上找到反例 。

 

转化为01背包求解 ：

　　对于每件物品 ， 背包最多能装的件数是  v / weight[i] ， 因此就可以进行一个预处理 ， 增加所有可以增加的物品 ， 直到每种物品的数量都达到 v / weight[i] 。此时在看这个问题 ， 就可以完全转变为 01 背包 。

时间复杂度的分析：O（NNew*V），其中V表示扩展前背包容量，NNew表示扩展后物品的个数，NNew = Σ(V/Weight[i](向下取整))

 

对物品拆分 ， 拆成 2 进制的形势

　　具体思路：把第i种物品拆成费用为weight[i]*2^k、价值为w[i]*2^k的若干件物品，其中k满足weight[i]*2^k<=V。

　　二进制思想 ： 因为不管最优策略选几件第 i 件物品 ， 总可以表示成若干个 2^k 的和 。

 

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盗的代码 ， 表示还不会写 ：

　　

    #include <iostream>  
    #include <vector>  
    #include <assert.h>  
    using namespace std;  
    /* 
    f[v]:表示第i件物品放入容量为v的背包后，获得的最大容量 
    f[v] = max(f[v],f[v - weight[i]] + value[i]); 
    初始条件：f[0] = 0; 
    */  
      
    const int N = 3;  
    const int V = 20;//5  
    int weight[N + 1] = {0,3,2,2};  
    int Value[N + 1] = {0,5,10,20};  
      
    int NNew = 0;  
    vector<int> weightVector;  
    vector<int> Valuevector;  
    int f[V + 1] = {0};  
    /*拆分物品*/  
    void SplitItem()  
    {  
        //从1开始  
        weightVector.push_back(0);  
        Valuevector.push_back(0);  
        //开始拆分  
        int nPower = 1;  
        for (int i = 1;i <= N;i++)  
        {  
            nPower = 1;  
            while (nPower * weight[i] <= V)  
            {  
                weightVector.push_back(nPower * weight[i]);  
                Valuevector.push_back(nPower * Value[i]);  
                nPower <<= 1;  
            }  
        }  
    }  
      
    int Completeknapsack()  
    {  
        //拆分物品  
        SplitItem();  
        //转化为01背包处理  
        NNew = weightVector.size() - 1;//多加了一个0，要减去  
      
        for (int i = 1;i <= NNew;i++)//物品个数变化  
        {  
            for (int v = V;v >= weightVector[i];v--)//背包容量仍是V  
            {  
                f[v] = max(f[v],f[v - weightVector[i]] + Valuevector[i]);  
            }  
        }  
      
        return f[NNew];  
    }  
    int main()  
    {  
        cout<<Completeknapsack()<<endl;  
        system("pause");  
        return 1;  
    }

 

 

（N * V 的算法）

　　在完全背包中，v变化的区间是顺序循环的原因：完全背包的特点是每种物品可选无限件，在求解加选第i种物品带来的收益f[i][v]时，在状态f[i][v-c[i]]中已经尽可能多的放入物品i了，此时在f[i][v-c[i]]的基础上，我们可以再次放入一件物品i，此时也是在不超过背包容量的基础下，尽可能多的放入物品i。

　　代码示例 ：

　

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std ;
#define Max(a,b) a>b?a:b

int weight[10] ;
int value[10] ;
int dp[100] ;

int main ( ) {
    int n , v ;

    cin >> n >> v ;
    for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
        cin >> weight[i] >> value[i] ;

    for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ ) {
        for ( int j = weight[i] ; j <= v ; j++ ) {
            dp[j] = Max ( dp[j] , dp[j-weight[i]]+value[i] ) ;  // 对于每件物品 ， 在不超背包体积的前提下 ， 尽可能多的放
        }
    }

    cout <<dp[v] ;
    return 0 ;
}

 

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