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Codeforces 55D (数位DP+离散化+数论）

2024-07-30 07:23:49   219人阅读

题目链接: http://poj.org/problem?id=2117

题目大意：统计一个范围内数的个数，要求该数能被各位上的数整除。范围2^64。

解题思路：

一开始SB地开了10维数组记录情况。

首先要求能被各位上的数整除，可以转化为被一个数整除问题。

这个数就是各位上数的最小公倍数LCM（不是GCD）。

其次，处理整除问题，得转化成数位DP的余数模板。1~9的LCM最大是2520, 那么%2520,让其可以开数组进行记忆化搜索。

最后, 对于不能%2520最后结果，再%各个数位累计过来的LCM。

这样下来，需要开20*2520*2520的数组，往CF上一交你会发现MLE。

 

仔细观察每次的LCM，其范围是1~2520没错，但是都是整除gcd的结果（LCM=a*b/gcd(a,b) ），也就是说所有LCM都是某个数的约数。

这个数其实就是2520。所以DP之前，为2520打个表，把LCM给离散化Hash。这样其实只有48个LCM了。数组开20*2520*50即可。

注意结果是int64。

 

#include "cstdio"#include "cstring"using namespace std;#define LL long longLL dp[20][2530][50],digit[20],Hash[2530];int gcd(int a,int b) {return b==0?a:gcd(b,a%b);}int lcm(int a,int b) {return a*b/gcd(a,b);}LL dfs(int len,int Remain,int Lcm,bool fp){    if(!len) return Remain%Lcm?0:1;    printf("%d\n",Lcm);    if(!fp&&dp[len][Remain][Hash[Lcm]]!=-1) return dp[len][Remain][Hash[Lcm]];    LL ret=0,fpmax=fp?digit[len]:9;    for(int i=0;i<=fpmax;i++)        ret+=dfs(len-1,(Remain*10+i)%2520,i==0?Lcm:lcm(Lcm,i),fp&&i==fpmax);    if(!fp) dp[len][Remain][Hash[Lcm]]=ret;    return ret;}LL f(long long x){    int len=0;    while(x)    {        digit[++len]=x%10;        x/=10;    }    return dfs(len,0,1,true);}int main(){    //freopen("in.txt","r",stdin);    int T;    LL l,r,cnt=0;    scanf("%d",&T);    memset(dp,-1,sizeof(dp));    for(int i=1;i*i<=2520;i++)    {        if(2520%i==0)        {            Hash[i]=cnt++;            if(i*i!=2520) Hash[2520/i]=cnt++;        }    }    while(T--)    {        scanf("%I64d%I64d",&l,&r);        LL res=f(r)-f(l-1);        printf("%I64d\n",res);    }}

 

 

 

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