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51nod1055 最长等差数列

2024-10-10 23:11:40   219人阅读

 

基准时间限制：2 秒 空间限制：262144 KB 分值: 80 
N个不同的正整数，找出由这些数组成的最长的等差数列。
 
 
例如：1 3 5 6 8 9 10 12 13 14
等差子数列包括(仅包括两项的不列举）
1 3 5
1 5 9 13
3 6 9 12
3 8 13
5 9 13
6 8 10 12 14
 
其中6 8 10 12 14最长，长度为5。
 
 
Input
第1行：N，N为正整数的数量(3 <= N <= 10000)。第2 - N+1行：N个正整数。(2<= A[i] <= 10^9)
Output
最长等差数列的长度。
Input示例
1013568910121314
Output示例
5

 

动态规划  线性DP

注意到是“由这些数组成的”等差序列，也就是原数列没有顺序限制

将数列从小到大排序，设$ f[i][j] $为 “末尾两项是$ a[j] $和$ a[i] $的等差数列”的最长长度。

这个状态设计挺巧妙的，既记录了位置信息，又记录了公差。

然后从$1$到$n$枚举$i$，再枚举$ j $和$ k $，当满足 $ a[j]-a[k] = a[i]-a[j] $时，可以由$ f[j][k] $转移到$ f[i][j] $

这样做是$ O(n^3) $的。

注意到数列已经排好序了，转移条件是 $ a[k]+a[i] == a[j] + a[j] $，其中蕴藏着神秘又美丽的单调性

所以可以枚举 j，用双指针维护i和k，这样复杂度就降到 $ O(n^2)$了

 1 #include<iostream> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstring> 4 #include<cstdio> 5 #include<cmath> 6 using namespace std; 7 const int mxn=10002; 8 int read(){ 9     int x=0,f=1;char ch=getchar();10     while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}11     while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}12     return x*f;13 }14 int n;15 int a[mxn];16 short f[mxn][mxn];17 int main(){18     int i,j;19     n=read();20     for(i=1;i<=n;i++){21         a[i]=read();22     }23     sort(a+1,a+n+1);24     int ans=2;25     for(i=1;i<n;i++){26         j=i-1;27         for(int k=i+1;k<=n && j>0;k++){28             while(j && a[k]+a[j]>a[i]+a[i])j--;29             if(j && a[k]+a[j]==a[i]+a[i]){30                 f[k][i]=(f[i][j]==0)?3:(f[i][j]+1);31                 ans=max(ans,(int)f[k][i]);32             }33         }34     }35     printf("%d\n",ans);36     return 0;37 }

 

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