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[C++] 贪心算法之活动安排、背包问题

一、贪心算法的基本思想

  在求解过程中,依据某种贪心标准,从问题的初始状态出发,直接去求每一步的最优解,通过若干次的贪心选择,最终得出整个问题的最优解。

  从贪心算法的定义可以看出,贪心算法不是从整体上考虑问题,它所做出的选择只是在某种意义上的局部最优解,而由问题自身的特性决定了该题运用贪心算法可以得到最优解。如果一个问题可以同时用几种方法解决,贪心算法应该是最好的选择之一。

二、贪心算法的基本要素

  (1)最优子结构性质

  (2)贪心选择性质(局部最优选择)

三、贪心算法实例

  1、活动安排

  设有n个活动的集合 E = {1,2,…,n},其中每个活动都要求使用同一资源,如演讲会场等,而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。

  每个活动 i 都有一个要求使用该资源的起始时间 si 和一个结束时间 fi,且 si < fi。如果选择了活动i,则它在半开时间区间 [si ,fi ) 内占用资源。若区间 [si , fi )与区间 [sj, fj ) 不相交,则称活动i与活动j是相容的。当 si ≥ fj 或 sj ≥ fi 时,活动 i 与活动 j 相容。

  活动安排问题就是在所给的活动集合中选出最大的相容活动子集合。

  例如:

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 1 #include <iostream>   
 2 using namespace std;   
 3   
 4 #define NUM 50 
 5 
 6 void GreedySelector(int n, int s[], int f[], bool b[])  
 7 {
 8     b[1]=true;  //默认将第一个活动先安排 
 9     int j=1;    //记录最近一次加入b中的活动  
10   
11       //依次检查活动i是否与当前已选择的活动相容
12     for(int i=2;i<=n;i++)  
13     {  
14         if (s[i]>=f[j])  
15         {   
16             b[i]=true;  
17             j=i;  
18         }  
19         else  
20             b[i]=false;  
21     }  
22 }
23 
24 int main()  
25 {  
26     int s[] = {0,1,3,0,5,3,5,6,8,8,2,12};          //存储活动开始时间
27     int f[] = {0,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14};      //存储活动结束时间
28     bool b[NUM];  //存储被安排的活动编号 
29      int n = (sizeof(s) / sizeof(s[0])) - 1;
30      
31     GreedySelector(n, s, f, b);
32     
33     for(int i = 1; i <= n; i++)      //输出被安排的活动编号和它的开始时间和结束时间 
34     {  
35         if(b[i]) cout << "活动 " << i << " :" << "(" << s[i] << "," << f[i] << ")" <<endl;  
36     }  
37     return 0;  
38 }  

  2、背包问题

  给定一个载重量为 M 的背包,考虑 n 个物品,其中第 i 个物品的重量 wi(1 ≤ i ≤ n),价值 vi(1 ≤ i ≤ n),要求把物品装满背包,且使背包内的物品价值最大。
  有两类背包问题(根据物品是否可以分割),如果物品不可以分割,称为 0—1 背包问题(动态规划);如果物品可以分割,则称为背包问题(贪心算法)。

  例如:

  有3种方法来选取物品:

    (1)当作 0—1 背包问题,用动态规划算法,获得最优值 220;
    (2)当作 0—1 背包问题,用贪心算法,按性价比从高到底顺序选取物品,获得最优值 160。由于物品不可分割,剩下的空间白白浪费。
    (3)当作背包问题,用贪心算法,按性价比从高到底的顺序选取物品,获得最优值 240。由于物品可以分割,剩下的空间装入物品 3 的一部分,而获得了更好的性能。

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图2.1 背包问题

 1 #include <iostream>   
 2 using namespace std;   
 3   
 4 #define NUM 50
 5 
 6 //这里假设 w[], v[] 已按要求排好序 
 7 void Knapsack(int n,float M,float v[],float w[],float x[])  
 8 {
 9     int i; 
10     for(i = 1; i <= n; i++) x[i] = 0;    //初始化数组 
11     float c  =  M;  
12     for(i = 1;i <= n; i++)                //全部被装下的物品,且将 x[i] = 1  
13     {  
14         if(w[i]>c) break;
15         x[i] = 1;  
16         c -= w[i];  
17     }  
18   
19     if(i <= n) x[i] = c / w[i];  //将物品i 的部分装下
20 } 
21 
22 int main()  
23 {
24     float M = 50;                //背包所能容纳的重量  
25     float w[] = {0,10,20,30};   //这里给定的物品按价值降序排序 
26     float v[] = {0,60,100,120};  
27       float x[NUM];                //存储每个物品装入背包的比例 
28       
29     int n = (sizeof(w) / sizeof(w[0])) - 1; 
30       
31     Knapsack(n, M, v, w, x);
32      
33     for(int i = 1; i <= n; i++)
34         cout << "物品 " << i << " 装入的比例: " << x[i] << endl;  
35     return 0;  
36 }

 

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