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[51nod1264]线段相交

2024-09-26 20:33:39   217人阅读

给定两个点:

typedef  struct {

  double  x, y;

} Point;

Point A1,A2,B1,B2;

首先引入两个实验：

a.快速排斥实验

设以线段A1A2和线段B1B2为对角线的矩形为M,N;

若M,N 不相交，则两个线段显然不相交；

所以：满足第一个条件时：两个线段可能相交。

 

b.跨立实验

 

如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方.若A1A2跨立B1B2，则矢量( A1 - B1 ) 和(A2-B1)位于矢量(B2-B1)的两侧，

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即(A1-B1) × (B2-B1) * (A2-B1) × (B2-B1)<0。

上式可改写成(A1-B1) × (B2-B1) * (B2-B1) × (A2-A1)>0。

应该判断两次，即两条线段都要为直线，判断另一直线的两端点是否在它两边，若是则两线段相交。

若积极满跨立实验是不行的，如下面的情况：

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即两条线段在同一条直线上。所以我们要同时满足两次跨立和快速排斥实验。

 

总体分析：

当(A1-B1) × (B2-B1)=0时，说明(A1-B1)和(B2-B1)共线，但是因为已经通过快速排斥试验，所以 A1一定在线段 B1B2上；同理，(B2-B1)×(A2-B1)=0 说明A2一定在线段B1B2上。所以判断A1A2跨立B1B2的依据是：(A1-B1) × (B2-B1) * (B2-B1) × (A2-B1) >= 0。

同理判断B1B2跨立A1A2的依据是：(B1-A1) × (A2-A1) * (A2-A1) × (B2-A1) >= 0。

如图：

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应用：

1.       判断两个线段相交

2.       判断线段与直线相交

3.       判断点在矩形内

 

模板题

 1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 struct line{ 5     double x1,y1,x2,y2; 6 }p,q; 7 double cross1(line &a,line &b){ 8     return (a.x1-b.x1)*(b.y2-b.y1)-(a.y1-b.y1)*(b.x2-b.x1); 9 }10 double cross2(line &a,line &b){11     return (a.x2-b.x1)*(b.y2-b.y1)-(a.y2-b.y1)*(b.x2-b.x1);12 }13 bool judge(line &a,line &b){14     if(max(a.x1,a.x2)>=min(b.x1,b.x2)&&15         max(a.y1,a.y2)>=min(a.y1,a.y2)&&16         max(b.x1,b.x2)>=min(a.x1,a.x2)&&17         max(b.y1,b.y2)>=min(a.y1,a.y2)&&18         cross1(a,b)*cross2(a,b)<=0&&19         cross1(b,a)*cross2(b,a)<=0)20     return true;21     return false;22 }23 int main(){24     int t;25     cin>>t;26     while(t--){27         cin>>p.x1>>p.y1>>p.x2>>p.y2>>q.x1>>q.y1>>q.x2>>q.y2;28         if(judge(p,q)) cout<<"Yes\n";29         else cout<<"No\n";30     } 31 }

 

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