整数中1出现的次数(从1到n整数中1出现的次数) （两种方法：1、规律。2暴力求解）

题目描述

求出1 ~ 13的整数中1出现的次数,并算出100 ~ 1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1 ~ 13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数。

规律( 1 的数目)

如果第 i 位(自右向左，从1开始标号)上的数字是0，则第 i 位可能出现 1 的次数由更高位决定(若没有高位，则视高位为0)，等于更高位数乘以当前位数的权重(10^i-1)

如果第 i 位上的数字为 1，则第 i 位上出现 1 的次数不仅受更高位影响，还受低位影响(若没有低位，视低位为0)，等于更高位数乘以当前位数的权重 (10^i-1) + (低位数 + 1)

如果第 i 位上的数字大于 1，则第 i 位上可能出现 1 的次数仅由更高位决定(若没有高位，视高位为0)，等于(更高位数 + 1)乘以当前位数的权重 (10^i-1)

规律(x 的数目)

这里的 x 属于[1, 9]， 因为 x = 0 不符合下列规律，需要单独计算

首先要知道以下规律

• 从 1 至 10，在它们的个位数中，任意的 x 都出现了 1 次
• 从 1 至 100，在它们的十位数中，任意的 x 都出现了 10 次
• 从1至1000，在它们的百位数中，任意的x都出现了100次
• 依次类推，从 1 至 10ⁱ，在它们的左数第二位(右数第 i 位)，任意的 x 都出现了 (10^i-1)次。这个规律很容易验证，这里不再多做说明

接下以 n = 2593, x = 5 为例来解释如何得到数学公式。从 1 至 2593中，数字 5 总计出现了 813 次，其中有 259次出现在个位，260次出现在十位，294次出现在百位，0次出现在千位

• 现在依次分析这些数据，首先是个位。从 1 至 2590 中，包含了 259 个 10，因此任意的 x 都出现了 259 次。最后剩余的三个数 2531,2592,2593，因为它们最大的个位数字 3 < x。因此不会包含任何 5. (也可以这么看， 3 < x， 则个位上可能出现的 x 的位数由更高位决定，等于更高位数字 (259) * 10^1-1 = 259)。

• 然后是十位。从 1 至 2500中，包含了25个100，因此任意的 x 都出现了 25 * 10 = 250 次。剩下的数字从 2501 至 2593，它们最大的十位数是 9 > x，因此会包含全部 10 个 5。最后总计 250 + 10 = 260。(也可以这么看，9 > x，则十位上可能出现的 x 的位数由更高位决定，等于更高位数字(25 + 1) * 10^2-1 = 260)

• 接下来是百位。从1至2000中，包含了2个1000，因此任意x都出现了2 * 100 = 200次。剩下的数字从2001至2593，它们最大的百位数字5 == x，这时候情况就略微复杂，它们的百位肯定是包含5的，但是不会包含全部100个。如果把百位是5的列出来，是从2500至2593，数字的个数与十位和个位数字有关，是93 + 1 = 94。最后总计 200 + 94 = 294。(也可以这么看， 5 == x，则百位上可能出现的x次数不仅受跟高位影响，还受低位影响，等于更高位数字 2 * 10^3-1 + (93 + 1))

• 最后是千位，现在已经没有更高位，因此直接看最大的千位数字 2 < x，因此不会包含任何 5 。(也可以这么看，2 < x，则千位上可能出现的x的次数仅由更高位决定，等于更高位数字 0 * 10^4-1 = 0)

到此为止，已经计算出全部数字 5 的出现次数。

总结

总结一下以上的算法，可以看到，当计算右数第 i 位包含的 x 的个数时：

• 取第 i位左边(高位)的数字，乘以 10^i-1，得到基础值 a

• 取第 i 位数字，计算修正值

• 如果大于 x , 则结果为 a + 10^i-1

• 如果小于 x，则结果为 a

• 如果等于 x，则取第 i 位右边(低位)数字，设为 b，最后结果为 a + b + 1

代码

#include <iostream>

using namespace std;
int oneNum(int n)
{
    int cur=n%10;//当前位
    int high=n/10;//相对于当前位的高位部分
    int low=0;//低位部分
    int count=0;//计数
    int base=1;//基
    while(n/base)
    {
        if(cur==0)//题目中要求找1 故小于1的只有0
        {
            count+=high*base;//高位部分乘以基（见上文的算法总结和规律）
        }
        else if(cur==1)
        {
            count+=high*base+low+1;
        }
        else{
            count+=(high+1)*base;
        }
        base*=10;
        cur=high%10;
        high=n/(base*10);
        low=n%base;
    }
    return count;
}
int main()
{
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        cout<<oneNum(n)<<endl;
    }
    return 0;
}

由分析思路或者代码都可以看出，while循环的次数就是n的位数,logn（以10为底），而循环体内执行的操作都是有限次的，所以时间复杂度为O(logn)。

暴力求解：

方法：对1到n中的每一个数，分别判断其中1的个数。

复杂度：O(n*logn)

int oneNum_b(int n)
{
    assert(n>=0);
    int count=0;
    int curNum=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        curNum=i;
        while(curNum)
        {
            if(curNum%10==1)
                count++;
            curNum/=10;
        }
    }
    return count;
}

n个整数中1出现的次数