题目：输入一个整数n，求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12，从1到12这些整数中包含1 的数字有1，10，11和12，1一共出现了5次。

分析：首先最先想到的是遍历从1到n的每个数，判断每个数中包含1的个数，再相加。 时间复杂度：如果输入数字为n，n有O(logn)位，我们需要判断每个数字的每一位是不是为1，所以时间复杂度为O(n*logn)。如果输入数字很大的时候，就需要大量的计算，效率不高。

      接下来观察规律：

     从个位到最高位，我们判断每一位1出现的次数。比如

     对于数23                    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

     个位为1的数为01,11,21。次数为3

     十位为1的次数，10,11,12.13 14 15 16 17 18 19  次数为10次

   总结规律得到：

   在个位出现1的个数=n/10+(个位=0,0；个位>1,1;个位=1，低0位+1)；

   十位位出现1的个数=n/100*10+(十位=0,0；十位>1,10,；十位=1，低一位+1)；

   百位出现1的个数=n/1000*100+(百位=0,0；百位>1,100;百位=1，低两位+1)；

手工求解：

125

个位=12+1

十位=10+10

百位=0+26

59个1

算法描述：

（1）求出所给正整数a的位数，假设为N,num保存1的个数

（2）另p=a,num+=p/10ⁱ*10^i-1;(i=1...N-1);

（3）令p=a/10^i-1;p=p%10,if(p==1) num+=a%10^i-1+1;if(p>1) num+=10^i-1;（i=1....N）

（4）printf(num);

  因为算法复杂度只和数字的位数有关，位数为logn位，所以总的时间复杂度为O(logn).

  参考：http://www.cnblogs.com/GoAhead/archive/2012/05/28/2521415.html