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[BZOJ2753][SCOI2012]滑雪与时间胶囊(特殊的有向树形图)

题目:http://www.lydsy.com:808/JudgeOnline/problem.php?id=2753

分析:

第一问:直接BFS扩展知道无法扩展

第二问:

看似就是最小树形图啊= =但是数据范围太大了……猪牛算法是O(mn),肯定TLE的。

于是考虑一下用最小生成树的想法

当然单纯的用Kruskal,是不可以的,问题处在哪里呢?因为如果按边权排序从小到大那么边的方向不确定,故最后形成的图中可能有边的方向反了导致不是一个树形图。

所以可以想到边的终点的点对应的高度大小肯定优先于边权

所以可以以边的终点的高度为第一关键字,边权大小为第二关键字对边排序,然后再Kruskal,那么就正确了。

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严谨的证明:

首先明确,在一个高度中,两点之间有边就一定是双向边。那么在一个高度且有边的点会形成一个强连通分量。将所有能够从1遍历到的点进行缩点之后,图会变成以1所在的SCC为起点的可拓扑图(因为高度比1还高的点一定无法到达,所以没有边)。

之后从上向下考虑,每一个SCC的高度一定是一样的。而终点为这个高度的边有两种,一种是从更高处的SCC连到这个高度的SCC的单向边,和这个SCC中的双向边,在处理这一层的时候,可以吧这两种边都看成是无向边,也就可以套用正常的MST了。

(选自 http://demo.netfoucs.com/jiangyuze831/article/details/41750715)

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