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Kuhn-Munkres算法
KM算法——二分图最大权匹配
我们前面学过了二分图匹配的匈牙利算法。但这种算法是针对没有权值的图来说的。
肯定有人想问，没有权值的用匈牙利算法，哪有权值的图要求最大权或最小权匹配呢？？
这里就引出了我们今天的主角——KM算法。
这种算法是怎么着呢？ 其实最大和最小权匹配都是一样的问题。只要会求最大匹配，如果要求最小权匹配，则将权值取相反数，再把结果取相反数，那么最小权匹配就求出来了。
但问题在这么求最大权匹配呢？？
再看这个问题之前我们先来搞清楚几个概念。
one
二分图的带权匹配：二分图的带权匹配就是求出一个匹配集合，使得集合中边的权值之和最大或最小。而二分图的最佳匹配则一定为完备匹配，在此基础上，才要求匹配的边权值之和最大或最小。二分图的带权匹配与最佳匹配不等价，也不互相包含。
这两个的关系比较悬乎。我的理解就是带权匹配是不考虑是不是完备，只求最大或最小权匹配。而最佳匹配则必须在完备匹配的基础上找最大或最小权匹配。
KM算法的运行要求是必须存在一个完备匹配，如果求一个最大权匹配(不一定完备)该如何办？依然很简单，把不存在的边权值赋为0。
KM算法求得的最大权匹配是边权值和最大，如果我想要边权之积最大，又怎样转化？还是不难办到，每条边权取自然对数，然后求最大和权匹配，求得的结果a再算出e^a就是最大积匹配。至于精度问题则没有更好的办法了。
two
二分图最优匹配：对于二分图的每条边都有一个权（非负），要求一种完备匹配方案，使得所有匹配边的权和最大，记做最优完备匹配。（特殊的，当所有边的权为1时，就是最大完备匹配问题）
three。
完备匹配：定义 设G＝<V1，V2，E>为二部图，|V1|≤|V2|，M为G中一个最大匹配，且|M|＝|V1|，则称M为V1到V2的完备匹配。
在上述定义中，若|V2|＝|V1|，则完备匹配即为完美匹配，若|V1|<|V2|，则完备匹配为G中最大匹配。
KM算法
KM算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[i]，顶点Yi的顶标为B[i]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立，初始A[i]为与xi相连的边的最大边权，B[j]=0。KM算法的正确性基于以下定理：
若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和（即不是最优匹配）。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
算法流程
(1)初始化可行顶标的值
(2)用匈牙利算法寻找完备匹配
(3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值
(4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止
小总结：
KM算法是用来解决最大权匹配问题的，在一个二分图里，左顶点为x，右顶点为y，现对于每组左右连接连接XiYj有权wij，求一种匹配使得所有wij的和最大。
也就是说，最大匹配一定是完美匹配。（完美匹配：二分图的两边点数相同）
如果点数不相同，我们可以通过虚拟点权为0的点来时的点数相同，这也就使这个图变成了完美匹配。
代码实现：
#include <iostream>#include <cstring>#include <cstdio>using namespace std;const int MAXN = 305;const int INF = 0x3f3f3f3f;int love[MAXN][MAXN]; // 记录每个妹子和每个男生的好感度int ex_girl[MAXN]; // 每个妹子的期望值int ex_boy[MAXN]; // 每个男生的期望值bool vis_girl[MAXN]; // 记录每一轮匹配匹配过的女生bool vis_boy[MAXN]; // 记录每一轮匹配匹配过的男生int match[MAXN]; // 记录每个男生匹配到的妹子 如果没有则为-1int slack[MAXN]; // 记录每个汉子如果能被妹子倾心最少还需要多少期望值int N;bool dfs(int girl){ vis_girl[girl] = true; for (int boy = 0; boy < N; ++boy) { if (vis_boy[boy]) continue; // 每一轮匹配 每个男生只尝试一次 int gap = ex_girl[girl] + ex_boy[boy] - love[girl][boy]; if (gap == 0) { // 如果符合要求 vis_boy[boy] = true; if (match[boy] == -1 || dfs( match[boy] )) { // 找到一个没有匹配的男生 或者该男生的妹子可以找到其他人 match[boy] = girl; return true; } } else { slack[boy] = min(slack[boy], gap); // slack 可以理解为该男生要得到女生的倾心 还需多少期望值 取最小值 备胎的样子【捂脸 } } return false;}int KM(){ memset(match, -1, sizeof match); // 初始每个男生都没有匹配的女生 memset(ex_boy, 0, sizeof ex_boy); // 初始每个男生的期望值为0 // 每个女生的初始期望值是与她相连的男生最大的好感度 for (int i = 0; i < N; ++i) { ex_girl[i] = love[i][0]; for (int j = 1; j < N; ++j) ex_girl[i] = max(ex_girl[i], love[i][j]); } // 尝试为每一个女生解决归宿问题 for (int i = 0; i < N; ++i) { fill(slack, slack + N, INF); // 因为要取最小值 初始化为无穷大 while (1) { // 为每个女生解决归宿问题的方法是 ：如果找不到就降低期望值，直到找到为止 // 记录每轮匹配中男生女生是否被尝试匹配过 memset(vis_girl, false, sizeof vis_girl); memset(vis_boy, false, sizeof vis_boy); if (dfs(i)) break; // 找到归宿 退出 // 如果不能找到 就降低期望值 // 最小可降低的期望值 int d = INF; for (int j = 0; j < N; ++j) if (!vis_boy[j]) d = min(d, slack[j]); for (int j = 0; j < N; ++j) { // 所有访问过的女生降低期望值 if (vis_girl[j]) ex_girl[j] -= d; // 所有访问过的男生增加期望值 if (vis_boy[j]) ex_boy[j] += d; // 没有访问过的boy 因为girl们的期望值降低，距离得到女生倾心又进了一步！ else slack[j] -= d; } } } // 匹配完成 求出所有配对的好感度的和 int res = 0; for (int i = 0; i < N; ++i) res += love[ match[i] ][i]; return res;}int main(){ while (~scanf("%d", &N)) { for (int i = 0; i < N; ++i) for (int j = 0; j < N; ++j) scanf("%d", &love[i][j]); printf("%d\n", KM()); } return 0;}
这有一篇博客讲的挺好的。
http://www.cnblogs.com/wenruo/p/5264235.html
Kuhn-Munkres算法