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基本状态：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2，当a*b!=0时，

　　设已经求得了x1,y1,使得a*x1+b*y1=gcd(a,b);

　　以及x2,y2,使得b*x2+(a%b)*y2=gcd(b,a%b);

　　因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b),所以b*x2+(a%b)*y2=a*x1+b*y1;

　　将a%b=a-(a/b)*b带入后得到b*x2+(a-(a/b)*b)*y2=ay2+b*(x2-(a/b)*y2)=a*x1+b*y1;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

 　　这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

欧几里得扩展代码：

 1 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
 2     if(b==0){
 3         x=1;
 4         y=0;
 5         return a;
 6     }
 7     int r=exgcd(b,a%b,x,y);
 8     int t=x;
 9     x=y
10     y=t-a/b*y;
11     return r;
12 }

扩展欧几里德算法