设 $\phi:[k_0,\infty)\to[0,\infty)$ 是有界递减函数, 并且 $$\bex \phi(k)\leq \sex{\frac{A}{h-k}}^\al\phi(h)^\beta,\quad k>h\geq k_0, \eex$$ 其中 $A,\al>0$, $\beta>1$. 试证: $$\bex \phi(k_0+d)=0, \eex$$ 其中 $$\bex d=A\phi(k_0)^{\frac{\beta-1}{\al}}2^\frac{\beta}{\beta-1}. \eex$$

证明: 提示: 选取迭代序列 $$\bex k_s=k_0+d-\frac{d}{2^s},\quad s=0,1,2,\cdots, \eex$$ 并用数学归纳法证明 $$\bex \phi(k_s)\leq \frac{\phi(k_0)}{r^s},\quad s=0,1,2,\cdots, \eex$$ 其中 $r$ 待定 ($=2^\frac{\al}{\beta-1}$).

[Everyday Mathematics]20150205