矩阵是平面的，如果是三维的呢？一维是向量，二维是矩阵，三维呢？
1）矩阵：由m*n个数排成的矩形数表;横排叫行，竖排叫列；
2）方阵：行数和列数都是n的矩阵；主对角线，对角元素，迹（对角元素的和）；方阵A的行列式；
3）矩阵的线性运算：加法（同型矩阵对应元素分别相加），零矩阵，负矩阵，减法（同型矩阵对应元素分别相减）；
4）矩阵数乘：每个元素分别相乘;数乘积.
5）矩阵运算的八条性质：A+B=B+A;(A+B)+C=A+(B+C);A+0=A;A+(-A)=0;k(A+B)=kA+kB;(k+l)A=kA+lA;(kl)A=k(lA);1·A=A;
6）矩阵的乘法：C=A*B,C的第(i,j)元素等于A的第i行与B的第i列对应元素的乘积之和.(i,j)=∑Aik*Bkj （k=1..s).要求A的列数和B的行数相等；
7) 相乘可交换：如果AB=BA，则称AB相乘可交换;但一般情况下，矩阵的乘法不可交换；
8)矩阵乘法：不满足交换律，也不满足消除律；
9）矩阵乘法性质：(AB)C=A(BC) ；(A+B)C=AC+BC;C(A+B)=CA+CB;kAB=(kA)B=A(kB);
10)幂：矩阵A是n阶方阵：则A^k=A*A....*A(k个A相乘)，定义为A的幂；
11）单位矩阵：对角元素全是1，其它元素全是0，注意这里与向量不同，矩阵元素全为1的并不是单位矩阵；EA=A,AE=A;
12）转置矩阵：行变成列，列变成行；T(T(A))=A,T(A+B)=TA+TB;T(kA)=kT(A),T(AB)=T(B)T(A);
13)分块：通过分块，可以将矩阵A的子块当做A的元素来进行矩阵运算；需要注意的是相应的分块本身必须满足矩阵运算的要求；通过这种方式可以达到降低运算规模的目的；对稀疏矩阵非常有效；
14）行向量，行向量组：矩阵的每一行的n个元素构成的n元向量叫行向量，所有行向量构成行向量组；矩阵与向量进行了关联；行向量组的秩也称为A的行秩；
15）列向量，列向量组：类似行向量的定义；
16）矩阵的行初等变换：对换矩阵的两行；用一个非零数去乘矩阵的一行；矩阵的一行加上另一行与数k的乘积；矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩；
17）矩阵的列初等变换：类似行的定义；
18 )矩阵的秩：矩阵的行秩=矩阵的列秩；
19）矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；矩阵A可由B经过若干初等变换得到，则A与B等价(矩阵的等价）
20）等价矩阵秩相同；矩阵等价的基本性质：自反性，对称性，传递性；
21）矩阵的标准形：任何矩阵A都可以通过初等变换化成四个字块:一个字块是单位矩阵，另外三个是0矩阵。
22）等价的充分必要条件：标准型相同或者同型且等秩；
23）等于n阶方阵：A满秩<=>En<=>|A|<>0;
24) A：m*n,如果R(A)=m的充分必要条件是A有一个m阶子式不等于零(m<=n),R(B)=n的充要条件为B有一个n阶子式不等于0(n<=m).定理6
25)A:m*n，R(A)=r的充要条件是A有一个r阶子式不等于0，且所有阶数高于r的子式都为零;定理7
26）定理6和7是消元法计算矩阵秩的保证（化阶梯矩阵法）；具体算法见MyMathLib系列.
27）R(AB)<=min(R(A),R(B)).
28）初等矩阵：对单位矩阵做一次初等变换所得到的矩阵；三种行初等矩阵，三种列初等矩阵；
29）矩阵的初等变换可表达为初等矩阵与A的乘积，注意：行初等变换相等于行初等矩阵左乘A，列初等变换相当于列初等矩阵右乘A。
30）N阶矩阵A满秩的充分必要条件是A可以表达成初等矩阵的乘积;
31) |AB|=|A||B| 这个等式可以简化行列式的计算;|AB|=|BA|
32)矩阵的逆：逆定义在方阵上AB=BA=E则成AB互为逆矩阵；
33）n阶矩阵存在逆的充分表条件为|A|不等于0；
34）伴随矩阵：Cij=Aij的代数余子式:
35）矩阵A存在逆矩阵，其逆矩阵唯一；
36）求逆矩阵的两种基本方法：一是古典法，及时利用求|A|和伴随矩阵来求,二是初等变换法（注意只能用行初等变换);这两种求矩阵逆的方法性能上相差非常大，具体可参见MyMathLib,自己计算体验；
37）AB=E，则A，B互逆.A的逆的逆等于A，A的逆的行列式值等于行列式值得倒数;AB乘积的逆等B的逆乘以A的逆;A可逆，A的转置逆等于逆的转置；
38）特殊矩阵：都是方阵，数量矩阵，对角矩阵；准对角矩阵；上三角矩阵，下三角矩阵；对称矩阵；反对称矩阵；
39）正交矩阵：A*T(A)=E;矩阵A与矩阵A的转置矩阵相乘等于单位矩阵，则A称为正交矩阵；正交矩阵的乘积任然是正交矩阵.
40)幂0矩阵：存在k使得A^k=0,则A称为幂0矩阵；幂零矩阵不可逆；

线性代数笔记（矩阵）