设 $X$ 是一个拓扑空间，如果对任何两个不相交的闭集 $E,F$，都存在不相交的开集 $U,V$ 使得 $E\subset U$，$F\subset V$，就称 $X$ 是一个正规空间。

Urysohn 引理：下面三条是等价的：

1. $X$ 是一个正规空间。

2.  对任何闭集 $E$ 以及包含 $E$ 的某个开集 $V$，存在开集 $U$ 使得 $E\subset U\subset\bar{U}\subset V$。

3.  对任何两个不相交的闭集 $E,F$，存在 $X\rightarrow[0,1]$ 的连续函数 $f$ 使得 $f|_E=0$，$f|_F=1$。

证明：

$1\Rightarrow2$：设 $E\subset V$ 为条件所述，则显然 $E$ 和 $V^c=X-V$ 是一对不相交的闭集，于是根据正规空间的定义，存在不相交的开集 $U,W$ 使得 $E\subset U$，$V^c\subset W$。不难验证如下的集合包含关系成立：

\[E\subset U\subset W^c\subset V.\]

注意 $W^c$ 是闭集，从而有

\[E\subset U\subset \bar{U}\subset V.\]

$2\Rightarrow3$：设 $V=X-F$，则 $V$ 是一个包含 $E$ 的开集。设 $\mathcal{D}=\{\frac{m}{2^n},n\in\mathbb{Z}^+,0\leq m\leq 2^m\}$ 是区间 $[0,1]$ 中所有二分有理数的集合，我们将对每个 $r\in\mathcal{D}$，构造一个开集 $U_r$，这些开集 $U_r$ 满足如下的条件：

1. \[\bar{U}_r\subset U_s,\ 0<r<s<1.\]

2. \[E\subset U_r\subset \bar{U}_r\subset V,\ 0<r<1.\]

为此对分母 $n$ 归纳地构造：首先根据前面的证明，存在开集 $U_{1/2}$ 使得

\[E\subset U_{1/2}\subset \bar{U}_{1/2}\subset V.\]

继续这个步骤，在上面的式子中再塞进去两个开集 $U_{1/4}$ 和 $U_{3/4}$，得到

\[E\subset U_{1/4}\subset \bar{U}_{1/4}\subset U_{1/2}\subset \bar{U}_{1/2}\subset U_{3/4}\subset \bar{U}_{3/4}\subset V.\]

这样一直做下去即可。

现在定义函数 $f:X\rightarrow[0,1]$ 为

\[f(x)=\inf \{ r: X\in U_r\}.\]

这里默认当 $r\leq 0$ 时 $U_r=\emptyset$，$r\geq1$ 时 $U_r=X$，于是每个 $x\in X$ 至少属于一个 $U_r$。

显然 $f|_E=0$，$f|_K=1$。要说明 $f$ 是连续的，只要说明对任何开区间 $(a,b)$，$f^{-1}(a,b)$ 是 $X$ 中的开集即可。

首先不难证明如下的事实：

1. 若 $x\in\bar{U}_r$，则 $f(x)\leq r$。

2. 若 $x\notin U_r$，则 $f(x)\geq r$。

由此不难验证 $\{f(x)<a\}=\cup_{r<a}U_r$ 以及 $\{f(x)>b\}=\cup_{r>b}\bar{U}^c_r$ 都是开集，因此 $f$ 是连续的。