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HDU4135 (求a~b内与n互素的数的个数) 容斥原理

掌握了容斥原理后,便会发现,这是一道简单的容斥原理的题。

题目描述:给定A, B, N (1 <= A <= B <= 10^151<=N <= 10^9).[A,B]区间内与N互素的数的个数

步骤
       (1)将问题化为求1~B,1~A中与N互素的数的个数的差,当然考虑到A可能与N互素的情况,在实际操作时,
                即求1~A时最好改成求1~A-1(包含A-1);
       (2)求N的质因子(可参考:http://blog.csdn.net/yzj577/article/details/38148087);
       (3)直接运用容斥原理(关于容斥原理的知识,可参考:http://baike.baidu.com/view/573741.htm?fr=aladdin)
                现在问题的关键是如何通过代码实现容斥原理,看到某博客说有三种可行的方法:dfs(深搜),队列数组,
                位运算,而我们在课上讲的是用位运算来实现的,所以我在这里用位运算来做。
举例:
         求1~50中与N=30互素的个数,30=2*3*5*,结果为50-50/2-50/3-50/5+50/(2*3)+50/(2*5)+50/(3*5)-50/(2*3*5)

               如果用’0‘和’1‘标记2,3,5,为’1‘时要除50,为’0‘时不需,那么,二进制数000,001,010,011,······,111,

         不就刚好对应上式中的2,3,5在除数中出现的情况,001—-2, 010—-3,011—-3*2,110—-5*3,111—-5*3*2······

         也就是说,判断从1~7中每个数对应的二进制数的’0‘和’1‘出现的情况如何,第几位出现’1‘,对应的N的质因子

         就要作除数,具体过程请参照下面代码。

参考代码:

<span style="font-size:14px;">#include<stdio.h>
int prime[20],num;
void suyin(int n)     //求n的质因子
{
    int i;
      num=0;
        if (n%2==0)     //先把偶数的情况考虑,下面就可以只判断奇数了
        {
            prime[num++]=2;
              while(n%2==0) n/=2;
        }
        for (i=3;i*i<=n;i+=2)   
//大于n的开方的质因子最多只有一个,下面的(if (n>1) prime[num++]=n)就是判断这个质因子是否存在  
        {
            if (n%i==0)
            {
                prime[num++]=i;
                while (n%i==0) n/=i;
            }
        }
        if (n>1) prime[num++]=n;   
}
long long husu(long long a,int m)
{
   long long s,sum;
   int i,j;
     sum=a;
       for (i=1;i<m;i++)
        {
          s=1;
            for (j=0;j<num;j++)
              {
                if ((i>>j)&1==1) s=(-1)*s*prime[j];//每次按位右移后取最右边一位数判断
                if ((i>>(j+1))==0) break;      //如果已经是0了当然不用再判断了
              }
           sum=sum+a/s;
        }
    return sum;
}
int main()
{
   long long a,b,tot;
   int n,t,k=1,i;
     scanf("%d",&t);
       while (t--)
         {
           scanf("%I64d%I64d%d",&a,&b,&n);
             suyin(n);
               int m=(1<<num);            //求最小的num+1位的二进制数,减一后就是最大num位的二进制数
             tot=husu(b,m)-husu(a-1,m);
           printf("Case #%d: %I64d\n",k++,tot);
         }
   return 0;
}</span>

总结:

         看到这道题,自然联想到跟素数相关的知识,所以在做这道题之前,我忍不住整理一下关于素数的基本算法。

         1、素数筛选法(求1~n的素数):http://blog.csdn.net/yzj577/article/details/38147433

         2、验证素数:http://blog.csdn.net/yzj577/article/details/38145927

         3、求一个数的质因子:http://blog.csdn.net/yzj577/article/details/38148087

         4、求n个数(1~n)的质因子:http://blog.csdn.net/yzj577/article/details/38148205


参考网址:http://www.cnblogs.com/jiangjing/archive/2013/06/03/3115470.html



HDU4135 (求a~b内与n互素的数的个数) 容斥原理