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hdu 1028 Ignatius and the Princess III（整数划分）

2024-07-16 12:52:26   225人阅读

Ignatius and the Princess III

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Problem Description
"Well, it seems the first problem is too easy. I will let you know how foolish you are later." feng5166 says.

"The second problem is, given an positive integer N, we define an equation like this:
  N=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[m];
  a[i]>0,1<=m<=N;
My question is how many different equations you can find for a given N.
For example, assume N is 4, we can find:
  4 = 4;
  4 = 3 + 1;
  4 = 2 + 2;
  4 = 2 + 1 + 1;
  4 = 1 + 1 + 1 + 1;
so the result is 5 when N is 4. Note that "4 = 3 + 1" and "4 = 1 + 3" is the same in this problem. Now, you do it!"
 

Input
The input contains several test cases. Each test case contains a positive integer N(1<=N<=120) which is mentioned above. The input is terminated by the end of file.
 

Output
For each test case, you have to output a line contains an integer P which indicate the different equations you have found.
 

Sample Input
4
10
20
 

Sample Output
5
42
627
 


整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：
       n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。
       如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
       例如当n=4时，他有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};
       注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。
       该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;
1.递归法：
       根据n和m的关系，考虑以下几种情况：
        （1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};
        (2) 当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};
        (3) 当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：
              (a). 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；
              (b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。
              因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);
        (4) 当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);
        (5) 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：
               (a). 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，因此这种情况下
                 为f(n-m,m)
               (b). 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);
              因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);
      综上所述：
                             f(n, m)=   1;                (n=1 or m=1)
                             f(n, n);                        (n<m)
                             1+ f(n, m-1);                (n=m)
                             f(n-m,m)+f(n,m-1);      (n>m)

但如果递归的话一般会超时，所以可以用dp 解决。(此部分摘抄自：http://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/6600977)

#include"stdio.h"
#include"string.h"
#include"math.h"
#include"queue"
using namespace std;
#define N 121
#define M 1000
int f[N][N];
/*int fun(int n,int m)
{
    if(n==1||m==1) return 1;
    else if(n>m) return fun(n-m,m)+fun(n,m-1);
    else if(n==m) return 1+fun(n,m-1);
    else if(n<m) return fun(n,n);
}*/
int main()
{
    int n,i,j;
    f[1][1]=1;
    for(i=1;i<N;i++)
    {
        for(j=1;j<N;j++)
        {
            if(i==1||j==1)
                f[i][j]=1;
            else if(i<j)
                f[i][j]=f[i][i];
            else if(i==j)
                f[i][j]=1+f[i][j-1];
            else if(i>j)
                f[i][j]=f[i-j][j]+f[i][j-1];
        }
    }
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        printf("%d\n",f[n][n]);
    }
    return 0;
}




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