http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028

整数划分问题。

第一道母函数。。。母函数入门

小于等于n的整数共有n个，1,2......n，每个数都有无限多个，对于整数1，它所对应的母函数为(1+x+x^2+...+x^k+...)，整数2对应的母函数为(1+x^2+X^4+...+x^(2*k)+...)，整数3对应的母函数为(1+x^3+x^6+...+x^(3*k)+...)，以此类推，直到整数n。

那么n的整数划分的个数就是这n个母函数乘积(1+x+x^2+...+x^k+...)*(1+x^2+x^4+...+x^(2k)+...)*(1+x^3+x^6+...+x*(3k)+...)+...+(x+x^n+x^(2n)+...)后x^n对应的系数。

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <queue>
#include <string>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define _LL __int64
#define eps 1e-12
#define PI acos(-1.0)
using namespace std;

int c1[130],c2[130];

int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
    	//初始化，对应第一个表达式(1+x+x^2+...+x^k+...),这时每个i在[0,n]之间都只有一种划分。
        for(int i = 0; i <= n; i++)
        {
            c1[i] = 1;
            c2[i] = 0;
        }
		//从第二个表达式开始
        for(int i = 2; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 0; j <= n; j++) //j从0到n枚举
            {
                for(int k = 0; k + j <= n; k += i) //k枚举第i个表达式的指数，第i个表达式的增量为i。
                {
                    c2[k+j] += c1[j];
                }
            }
            for(int j = 0; j <= n; j++) //把c2[]的值赋给c1[],因为c2[]每次是从一个表达式开始的。
            {
                c1[j] = c2[j];
                c2[j] = 0;
            }
        }
        printf("%d\n",c1[n]);//x^n的系数就是n的整数划分数。
    }
    return 0;
}

完全背包也可以解。只是把状态转移方程f[i][v] = max( f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i])的max改成sum。

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <queue>
#include <string>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define _LL __int64
#define eps 1e-12
#define PI acos(-1.0)
using namespace std;

int dp[130];

int main()
{
	int n;
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		dp[0] = 1;

		for(int i = 1; i <= n; i++)
		{
			for(int j = i; j <= n; j++)
				dp[j] += dp[j-i];
		}

		printf("%d\n",dp[n]);
	}
	return 0;
}