欧拉通路: 通过图中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的通路（顶点并不要求都应经过一遍）

欧拉回路: 通过图中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的回路

有向图的基图：忽略有向图所有边的方向，得到的无向图称为该有向图的基图。 

无向图

  设G是连通无向图，则称经过G的每条边一次并且仅一次的路径为欧拉通路；

 如果欧拉通路是回路（起点和终点是同一个顶点），则称此回路是欧拉回路

  具有欧拉回路的无向图G成为欧拉图

有向图

（1）设D是有向图，D的基图连通，则称经过D的每条边一次并且仅有一次的有向路径为 有向欧拉通路

（2）如果有向欧拉通路是有向回路，则称此有向回路为  有向欧拉回路

（3）具有有向欧拉回路的图D称为有向欧拉图

定理

 无向图G存在欧拉通路的充要条件是：G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或者无奇度结点。

推论

（1） 当G是仅有两个奇度结点的连通图时，G的欧拉通路必以此两个结点为端点；

（2）当G是无奇度结点的连通图时，G必有欧拉回路

（3）G为欧拉图（存在欧拉回路）的充分必要条件是  G为无奇度结点的连通图

（有向图） 定理

有向图D存在欧拉通路的充要条件是：D为有向图，D的基图连通，并且所有顶点的出度与入度相等；或者  除两个顶点外，其余顶点的出度与入度都相等，而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的出度与入度之差为-1.

推论

（1）当D除出、入度之差为1，-1的两个顶点之外，其余顶点的出度与入度相等时，D的有向欧拉通路必以出、入度之差为1的顶点作为始点，以出、入度之差为-1的顶点作为终点。

（2）当D的所有顶点的出、入度都相等时，D中存在有向欧拉回路。

（3）有向图D为有向欧拉图的充要条件是  D的基图为连通图，并且所有顶点的出、入度都相等。

欧拉回路的求解

两种方法：（1）DFS搜索  （Fleury）佛罗莱算法

（1）DFS搜索 思想求解欧拉回路的思路为：利用欧拉定理判断出一个图存在欧拉通路或欧拉回路后，选择一个正确的起始顶点，用DFS算法遍历所有的边（每条边只遍历一次），遇到走不通就回退。在搜索前进方向上将遍历过的边按顺序记录下来。这组边的排列就组成了一条欧拉通路或回路。

（2） （Fleury）佛罗莱算法

设G为一个无向欧拉图，求G中一条欧拉回路的算法如下：

（1） 任取G中一顶点v0，令P0=v0；

（2）假设沿Pi=v0e1v1e2v2......eivi走到顶点vi，按下面方法从E(G)-{e1,e2,...,ei}中选ei+1。

        ei+1与vi相关联

        除非无别的边可供选择，否则ei+1不应该是Gi=G-{e1,e2,...,ei}中的桥。

（3）当（2）不能再进行时算法停止。

        可以证明的是，当算法停止时，所得到的简单回路Pm=v0e1v1e2v2......emvm，（vm=v0）为G中一条欧拉回路。

 备注知识：

  设无向图G(V,E)为连通图，若边集E1属于E，在图G中删除E1中所有的边后得到的子图是不连通的，而删除了E1的任一真子集后得到的子图是连通图，则称E1是G的一个割边集。若一条边构成一个割边集，则称该边为割边，或桥

DFS方法代码样例：

 1 #include<iostream> 2 #include<cstring> 3 #include<cstdio> 4 #define N 105 5 using namespace std; 6 int n,m,map[N][N],du[N],pre[105],step=0; 7 void dfs(int start){ 8     for(int i=1;i<=n;i++){ 9         if(map[start][i]==1){10             map[start][i]=map[i][start]=0;11             dfs(i);    12         }    13     }14     pre[++step]=start;15 }16 int main()17 {18     scanf("%d%d",&n,&m);19     int u,v;20     memset(map,0,sizeof(map));21     for(int i=1;i<=m;i++){22         scanf("%d%d",&u,&v);23         map[u][v]=map[v][u]=1;24         du[u]++;du[v]++;25     }26     int k=0,start=1;27     for(int i=1;i<=n;i++){28         if(du[i]%2==1) k++,start=i;29     }30     if(k==0) printf(" G is a oula huilu\n");31     if(k==2) printf(" G is a oula tonglu\n");32     if(k!=0&&k!=2) {printf(" G is not a oula tu\n"); return 0;}33     dfs(start);34     printf("start is %d\n",start);35     for(int i=1;i<=step;i++)36       printf("%d ",pre[i]);37     return 0;38 }

2017年 1月15日 欧拉回路 学习整理