首页 > 代码库 > POJ 1637 Sightseeing tour (混合图欧拉回路)
POJ 1637 Sightseeing tour (混合图欧拉回路)
POJ 1637 Sightseeing tour
链接:http://poj.org/problem?id=1637
题意:给定一个混合图,既有有向边,又有无向边,问是否存在欧拉回路。
思路:
1 定义
欧拉通路 (Euler tour)——通过图中每条边一次且仅一次,并且过每一顶点的通路。
欧拉回路 (Euler circuit)——通过图中每条边一次且仅一次,并且过每一顶点的回路。
欧拉图——存在欧拉回路的图。
2 无向图是否具有欧拉通路或回路的判定
G有欧拉通路的充分必要条件为:G 连通,G中只有两个奇度顶点(它们分别是欧拉通路的两个端点)。
G有欧拉回路(G为欧拉图):G连通,G中均为偶度顶点。
3 有向图是否具有欧拉通路或回路的判定
D有欧拉通路:D连通,除两个顶点外,其余顶点的入度均等于出度,这两个特殊的顶点中,一个顶点的入度比出度大1,另一个顶点的入度比出度小1。
D有欧拉回路(D为欧拉图):D连通,D中所有顶点的入度等于出度。
4 混合图。混合图也就是无向图与有向图的混合,即图中的边既有有向边也有无向边。
5 混合图欧拉回路
混合图欧拉回路用的是网络流。
把该图的无向边随便定向,计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数,那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度,也就是总度数为偶数,存在奇数度点必不能有欧拉回路。
现在每个点入度和出度之差均为偶数。将这个偶数除以2,得x。即是说,对于每一个点,只要将x条边反向(入>出就是变入,出>入就是变出),就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入,那么很明显,该图就存在欧拉回路。
现在的问题就变成了:该改变哪些边,可以让每个点出 = 入?构造网络流模型。有向边不能改变方向,直接删掉。开始已定向的无向边,定的是什么向,就把网络构建成什么样,边长容量上限1。另新建s和t。对于入 > 出的点u,连接边(u, t)、容量为x,对于出 > 入的点v,连接边(s, v),容量为x(注意对不同的点x不同。当初由于不小心,在这里错了好几次)。之后,察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路,没有就是没有。查看流值分配,将所有流量非 0(上限是1,流值不是0就是1)的边反向,就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。
由于是满流,所以每个入 > 出的点,都有x条边进来,将这些进来的边反向,OK,入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么,没和s、t连接的点怎么办?和s连接的条件是出 > 入,和t连接的条件是入 > 出,那么这个既没和s也没和t连接的点,自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中,这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的,这样,进去多少就出来多少,反向之后,自然仍保持平衡。
所以,就这样,混合图欧拉回路问题,解了。
欧拉通路 (Euler tour)——通过图中每条边一次且仅一次,并且过每一顶点的通路。
欧拉回路 (Euler circuit)——通过图中每条边一次且仅一次,并且过每一顶点的回路。
欧拉图——存在欧拉回路的图。
2 无向图是否具有欧拉通路或回路的判定
G有欧拉通路的充分必要条件为:G 连通,G中只有两个奇度顶点(它们分别是欧拉通路的两个端点)。
G有欧拉回路(G为欧拉图):G连通,G中均为偶度顶点。
3 有向图是否具有欧拉通路或回路的判定
D有欧拉通路:D连通,除两个顶点外,其余顶点的入度均等于出度,这两个特殊的顶点中,一个顶点的入度比出度大1,另一个顶点的入度比出度小1。
D有欧拉回路(D为欧拉图):D连通,D中所有顶点的入度等于出度。
4 混合图。混合图也就是无向图与有向图的混合,即图中的边既有有向边也有无向边。
5 混合图欧拉回路
混合图欧拉回路用的是网络流。
把该图的无向边随便定向,计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数,那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度,也就是总度数为偶数,存在奇数度点必不能有欧拉回路。
现在每个点入度和出度之差均为偶数。将这个偶数除以2,得x。即是说,对于每一个点,只要将x条边反向(入>出就是变入,出>入就是变出),就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入,那么很明显,该图就存在欧拉回路。
现在的问题就变成了:该改变哪些边,可以让每个点出 = 入?构造网络流模型。有向边不能改变方向,直接删掉。开始已定向的无向边,定的是什么向,就把网络构建成什么样,边长容量上限1。另新建s和t。对于入 > 出的点u,连接边(u, t)、容量为x,对于出 > 入的点v,连接边(s, v),容量为x(注意对不同的点x不同。当初由于不小心,在这里错了好几次)。之后,察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路,没有就是没有。查看流值分配,将所有流量非 0(上限是1,流值不是0就是1)的边反向,就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。
由于是满流,所以每个入 > 出的点,都有x条边进来,将这些进来的边反向,OK,入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么,没和s、t连接的点怎么办?和s连接的条件是出 > 入,和t连接的条件是入 > 出,那么这个既没和s也没和t连接的点,自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中,这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的,这样,进去多少就出来多少,反向之后,自然仍保持平衡。
所以,就这样,混合图欧拉回路问题,解了。
出处: http://www.cnblogs.com/destinydesigner/archive/2009/09/28/1575674.html
代码:
/* ID: wuqi9395@126.com PROG: LANG: C++ */ #include<map> #include<set> #include<queue> #include<stack> #include<cmath> #include<cstdio> #include<vector> #include<string> #include<fstream> #include<cstring> #include<ctype.h> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; #define LINF (1LL<<60) #define INF (1<<30) #define PI acos(-1.0) #define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a)) #define rep(i, a, n) for (int i = a; i < n; i++) #define per(i, a, n) for (int i = n - 1; i >= a; i--) #define eps 1e-6 #define debug puts("===============") #define pb push_back //#define mp make_pair #define all(x) (x).begin(),(x).end() #define fi first #define se second #define SZ(x) ((int)(x).size()) #define POSIN(x,y) (0 <= (x) && (x) < n && 0 <= (y) && (y) < m) typedef long long ll; typedef unsigned long long ULL; const int maxn = 210; const int maxm = 2000; int st, ed, n; int m, s; int in[maxn], out[maxm], sum; struct node { int v; // vertex int cap; // capacity int flow; // current flow in this arc int nxt; } e[maxm * 2]; int g[maxn], cnt; void add(int u, int v, int c) { e[++cnt].v = v; e[cnt].cap = c; e[cnt].flow = 0; e[cnt].nxt = g[u]; g[u] = cnt; e[++cnt].v = u; e[cnt].cap = 0; e[cnt].flow = 0; e[cnt].nxt = g[v]; g[v] = cnt; } bool init() { mem(g, 0); cnt = 1; sum = 0; scanf("%d%d", &m, &s); st = 0, ed = m + 1; for (int i = 1; i <= m; i++) in[i] = out[i] = 0; int u, v, c; for (int i = 0; i < s; i++) { scanf("%d%d%d", &u, &v, &c); out[u]++, in[v]++; if (c == 0) add(u, v, 1); } for (int i = 1; i <= m; i++) { int k = in[i] - out[i]; if (k % 2 != 0) return false; if (k > 0) add(i, ed, k / 2), sum += k / 2; if (k < 0) add(st, i, -k / 2); } n = m + 3; return true; } int dist[maxn], numbs[maxn], q[maxn]; void rev_bfs() { int font = 0, rear = 1; for (int i = 0; i <= n; i++) { //n为总点数 dist[i] = maxn; numbs[i] = 0; } q[font] = ed; dist[ed] = 0; numbs[0] = 1; while(font != rear) { int u = q[font++]; for (int i = g[u]; i; i = e[i].nxt) { if (e[i ^ 1].cap == 0 || dist[e[i].v] < maxn) continue; dist[e[i].v] = dist[u] + 1; ++numbs[dist[e[i].v]]; q[rear++] = e[i].v; } } } int maxflow() { rev_bfs(); int u, totalflow = 0; int curg[maxn], revpath[maxn]; for(int i = 0; i <= n; ++i) curg[i] = g[i]; u = st; while(dist[st] < n) { if(u == ed) { // find an augmenting path int augflow = INF; for(int i = st; i != ed; i = e[curg[i]].v) augflow = min(augflow, e[curg[i]].cap); for(int i = st; i != ed; i = e[curg[i]].v) { e[curg[i]].cap -= augflow; e[curg[i] ^ 1].cap += augflow; e[curg[i]].flow += augflow; e[curg[i] ^ 1].flow -= augflow; } totalflow += augflow; u = st; } int i; for(i = curg[u]; i; i = e[i].nxt) if(e[i].cap > 0 && dist[u] == dist[e[i].v] + 1) break; if(i) { // find an admissible arc, then Advance curg[u] = i; revpath[e[i].v] = i ^ 1; u = e[i].v; } else { // no admissible arc, then relabel this vertex if(0 == (--numbs[dist[u]])) break; // GAP cut, Important! curg[u] = g[u]; int mindist = n; for(int j = g[u]; j; j = e[j].nxt) if(e[j].cap > 0) mindist = min(mindist, dist[e[j].v]); dist[u] = mindist + 1; ++numbs[dist[u]]; if(u != st) u = e[revpath[u]].v; // Backtrack } } return totalflow; } int main () { int cas; scanf("%d", &cas); while(cas--) { if (!init()) { puts("impossible"); continue; } if (maxflow() == sum) puts("possible"); else puts("impossible"); } return 0; }
POJ 1637 Sightseeing tour (混合图欧拉回路)
声明:以上内容来自用户投稿及互联网公开渠道收集整理发布,本网站不拥有所有权,未作人工编辑处理,也不承担相关法律责任,若内容有误或涉及侵权可进行投诉: 投诉/举报 工作人员会在5个工作日内联系你,一经查实,本站将立刻删除涉嫌侵权内容。