混合图的欧拉回路问题

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欧拉回路问题

1 定义

欧拉通路 (Euler tour)——通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的通路。 

欧拉回路 (Euler  circuit)——通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的回路。 

欧拉图——存在欧拉回路的图。 

 2 无向图是否具有欧拉通路或回路的判定 

G有欧拉通路的充分必要条件为：G 连通，G中只有两个奇度顶点(它们分别是欧拉通路的两个端点)。 

G有欧拉回路(G为欧拉图)：G连通，G中均为偶度顶点。


 3 有向图是否具有欧拉通路或回路的判定

D有欧拉通路：D连通，除两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度，这两个特殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点的入度比出度小1。 

D有欧拉回路(D为欧拉图)：D连通，D中所有顶点的入度等于出度。

4 混合图

混合图也就是无向图与有向图的混合，即图中的边既有有向边也有无向边。


 5 混合图欧拉回路 

混合图欧拉回路用的是网络流求解
 把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。 现在每个点入度和出度之差均为偶数。将这个偶数除以 2，得 x。即是说，对于每一个点，只要将 x 条边反向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。 现在的问题就变成了：该改变哪些边，可以让每个点出 = 入？

构造网络流模型。有向边不能改变方向，直接删掉。开始已定向的无向边，定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限 1。另新建 s 和 t。对于入 > 出的点 u，连接边(u, t)、容量为 x，对于出 > 入的点 v，连接边(s, v)，容量为 x（注意对不同的点x不同）。之后，察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。查看流值分配，将所有流量非 0（上限是 1，流值不是 0 就是1）的边反向，就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。 由于是满流，所以每个入 > 出的点，都有 x 条边进来，将这些进来的边反向，OK，入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么，没和 s、t 连接的点怎么办？和s 连接的条件是出 > 入，和 t 连接的条件是入 > 出，那么这个既没和 s 也没和 t 连接的点，自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中，这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的，这样，进去多少就出来多少，反向之后，自然仍保持平衡。 
  所以，就这样，混合图欧拉回路问题就解决了。

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int maxn = 500 + 5;
const int INF = 100000000;
struct Edge{
    int from, to, cap, flow;
};

struct Dinic{
    int n, m, s, t;
    vector<Edge> edges;
    vector<int> G[maxn];
    bool vis[maxn];
    int d[maxn];
    int cur[maxn];

    void init(int n)
    {
        this->n = n;
        for(int i=0; i<=n; ++i) G[i].clear();
        edges.clear();
    }

    void AddEdge(int from, int to, int cap)
    {
        edges.push_back((Edge){from, to, cap, 0});
        edges.push_back((Edge){to, from, 0, 0});
        m = edges.size();
        G[from].push_back(m-2);
        G[to].push_back(m-1);
    }

    bool BFS()
    {
        memset(vis, 0, sizeof vis );
        queue<int> Q;
        Q.push(s);
        vis[s] = 1;
        d[s] = 0;
        while(!Q.empty())
        {
            int x = Q.front(); Q.pop();
            for(int i=0; i<G[x].size(); ++i)
            {
                Edge& e = edges[G[x][i]];
                if(!vis[e.to] && e.cap > e.flow)
                {
                    vis[e.to] = 1;
                    d[e.to] = d[x] + 1;
                    Q.push(e.to);
                }
            }
        }
        return vis[t];
    }

    int DFS(int x, int a)
    {
        if(x == t || a == 0) return a;
        int flow = 0, f;
        for(int& i = cur[x]; i<G[x].size(); ++i)
        {
            Edge& e = edges[G[x][i]];
            if(d[x] + 1 == d[e.to] && (f=DFS(e.to, min(a,e.cap-e.flow)))>0)
            {
                e.flow += f;
                edges[G[x][i]^1].flow -= f;
                flow += f;
                a -= f;
                if(a==0) break;
            }
        }
        return flow;
    }

    int Maxflow(int s, int t)
    {
        this->s = s; this->t =t;
        int flow = 0;
        while(BFS()){
            memset(cur, 0, sizeof cur );
            flow += DFS(s, INF);
        }
        return flow;
    }
};

Dinic solver;

int in[maxn], out[maxn];


int main()
{
    int T, n, m, i, x, y, z;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        memset(in, 0, sizeof in );
        memset(out, 0, sizeof out );
        solver.init(n+1);
        for(i=0; i<m; ++i)
        {
            scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
            out[x]++;
            in[y]++;
            if(!z)
            {
                //x->y
                solver.AddEdge(x, y, 1);
            }
        }
        bool ok = true;
        for(i=1; i<=n; ++i)
        if( abs(in[i]-out[i])&1)
        {
            ok = false;
            break;
        }

        if(ok){
            int s = 0, t = n+1;
            int Full_flow = 0;
            for(i=1; i<=n; ++i)
            {
                if(out[i]-in[i]>0)
                {
                    solver.AddEdge(s, i, (out[i]-in[i])/2);
                    Full_flow += (out[i]-in[i])/2;
                }else {
                    solver.AddEdge(i, t, (in[i] - out[i])/2);
                }
            }

            int Max_Flow = solver.Maxflow(s, t);
            if( Max_Flow != Full_flow)
                ok = false;
        }
        if(ok) puts("possible");
        else puts("impossible");
    }
    return 0;
}